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* * 第四章第四课时： 角平分线定理和 中垂线定理 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦 1.角平分线的性质定理和逆定理 (1)点在角平分线上 点到这个角的两边的距离相等. (2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-1所示. 性质定理：∵P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上. (3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-2所示. 要点、考点聚焦 性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上. 【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合. 要点、考点聚焦 2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A．1处 B.2处 C.3处 D. 4处 课前热身 C D 1.下列说法正确的是( ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题. 图4-4-3 3.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：(1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是 ( ) A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.全对. A 课前热身 4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.10 C 课前热身 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= . 36° 课前热身 典型例题解析 AB+AD=BC 【例1】 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想需用题中所有的条件) 【例2】 (2003·河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF. 典型例题解析 【例3】 (2003·浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( ) A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AD和BC，焊接点D D.AB和AD，焊接点A C 典型例题解析 【例4】 (2003·黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若BD·CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2)所示). (2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此 两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明. 典型例题解析 图4-4-10(1) 图4-4-10(2) 图