第四章线性方程组.ppt

这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式: 必须等于零. 行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示. 结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到 定理4.4.1 如果多项式 定理4.4.2 设 (i) 如果 而 的全部根,那么 (1) 有公根,或者 ,那么它们的结式等于零. 是复数域C上多项式. 是它们的结式. (ii) 如果 ,而 的全部根,那么 (2) 证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时 的根是 。而 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，…，最后，把新的第n列乘以 加到第n+1列上，这时行列式中元素 都被消去，而最后一行的元素依次等于 因此 假设当 时公式（1）成立。我们看 的情形，这时 令 的全部根。那么 这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有 因此 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，……，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到 我们得到 把这个行列式依最后一列展开，我们有 再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，……最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是 这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设， 于是 公式（1）被证明。 容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到 （3） 因此，如果 而 是 的全部根，那么由（1）可得（2）。 定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。 证 设 ，如果 ，那么由（1），一定有某一 ，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。 例1 多项式 的结式是 如果 。以 乘第一行加到第三行，然后按第一列展开，得 如果 ，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。 例如， 没有公根，因为这时 。如果 ，那么 ，从而 有公根。实际上，5是这两个多项式的公根。 现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。 设 是两个复系数二元多项式，我们按x的降幂写出这两个多项式： 把 分别看成f 中 和g中 的系数，然后求出f 和g 的结式，记作， 是y 的一个多项式： 如果多项式 有公共零点 ，那么以 代替 中的文字y，所得到的一元多项式 有公根，由定理4.4.1，它们的结式 ，这就是说， 是多项式 的一个根。反过来，如果结式 有根 ，那么以 代替多项式 中的文字y，我们得到x 的多项式 的结