第四章量纲分析与相似.ppt

* 第四章 量纲分析和相似原理 第一节 量纲分析的意义和量纲和谐原理 一、量纲的概念 单位（Unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。 量纲（Dimension）：撇开单位的大小，表征物理量的性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。 基本量纲（Fundamental Dimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取质量M，长度L、时间T、即[M- L-T]为基本量纲体系。 导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 量纲 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3 [ F ]= MLT -2 量纲公式: 某一物理量q的量纲[q］都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示 几何学量纲：? = 0，??0，?=0 运动学量纲：? = 0，??0，??0 动力学量纲：??0，??0，??0 分 类 二、无量纲量 当 则 ［q］= 1 无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。 特点： (1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性； (2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数； (3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中， 均应用无量纲量。 三、量纲和谐原理 （Theory of Dimensional Homogeneity） 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性： b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。 a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。 第二节 量纲分析法 一、瑞利法（Rayleigh） 瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。 具体分析步骤如下： 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量； 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超过4个，待求量纲指数不超过3个。 【例4-1】求水泵输出功率的表达式 【例4-2】求圆管层流的流量关系式 （P74） 二、布金汉（Buckingham）定理（?定理） 若某一物理过程包含n个物理量，即 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量） 则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的关系式来描述 ，即 ?定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式： （2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，一般取m=3，如q1、 q2、 q3。在管流中，一般选d，?， ?三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H， ?， ?。 （3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即 …… （4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci （5）整理方程式 选择基本变量的原则： 1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 应用范围：对相关物理量个数 n 没有限制，应用更为普遍。 例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式?0。已知?0与液体的密度? ，液体的动力沾滞系数? ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度?以及管中断面平均流速?有关。 解 f（D、 v 、 ?、 ?0 、 ? 、?）=0 从各独立影响因素中选取D（几何量）、 ? （运动量）、?（动力量）为基本量建立（6~3 ） ?项： 对? 1 ： 同理求得 将各?代入得 整理得 令 ，则 例题： 管中紊流，单位管长沿程水头损失hf /L，取决于下列因素： 流速v，管径D，重力g，动力粘度?，管壁粗糙高度?和密度?。 试用?定理分析确定方程的一般形式。 解： 取v， d， ?为基本变量