等差与等比数列的性质.ppt

* 上海市嘉定区封浜中学：杜正荣 电话：021Email:duyunchao@ 阅读教材P76例题6、7 引申1、如果｛an｝ ｛bn｝是等差数列， 证明：｛pan+ qbn ｝(其中p,q是常数）也是等差数列 引申2.已知 是项数相同的等比数列， 是等比数列. 求证: (1)已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1 求证：{an}为等差数列； (2) 已知数列{an}是等差数列， 求证：数列{an+an+1}也是等差数列. 例1 (3 )已知 是项数相同的等比数列， 是等比数列. 求证: 证明：设数列 的首项是 ，公比为 的首项为 ，公比为 那么数列 的第n+1 项与第n项 之比为q1/q2 根据等比数列的定义可知，数列{kanmbn}是一个以qq’为公比的等比数列. （4）.如果a,b,c成等差数列,而 a，c，b三数成等比数列,则a:b:c=________________ a,b,c成等差数列 2b= a+c b= (a+c)/2 a,c,b成等比数列 c2=ab ① ② ①代 入②,得: c2=a(a+c)/2 解得: a=c或 a= -2c 1:1:1或4:1:(-2) 解: 例2.已知数列的通项公式为an＝pn＋q 其中p，q是常数，且p≠0，那么 这个数列是否是等差数列？如果 是，其首项与公差是什么？ 等差数列的判定方法： (1) an＋1－an＝d ? {an}是等差数列 (2) 2an＋1=an+ an+ 2 ? {an}是等差数列 (3) an=kn+b ? {an}是等差数列 例3. 已知：lga，lgb，lgc与lga－lg2b， lg2b－lg3c，lg3c－lga都是等差 数列，求a：b：c. 例4.已知，三个数成等差数列，其和为15 首末两项的积为9，求此数列. 若三个数成等差数列，可设三个数为a－d，a，a＋d 若四个数成等差数列，可设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 练习1. 在?1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成等差数列，求此数列。 　解：　因为b 是等差数列的中间一项， 所以2b=a+c＝－1＋7＝6。 也就是b=3 a是－1和b的比例中项，所以2a =-1+b=2 所以a=1, c是b和7的比例中项，所以2c=b+7=10 所以c=5. 练习2.(1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列； (2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二 数的积为12，求此三数. 练习3.设 为等差数列， 求证： 成等差数列 6、4、2或2、4、6 练习4.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( ) 解: ∵ A+B+C=1800 2B=A+C,b2=ac ∴ B=600, A+C=1200 由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC 故 A=B=C, 公差 d=0. 练习5.已知{ an }为等比数列，则在下列数列中仍是等比 数列的是 . ①{2an}； ②{nan}； ③{|an|}； ④{an+an+1+an+2}； ⑤{an·an+1}； ⑥{lgan}； ⑦{ }； ⑧{an+an+3+an+6} √ √ √ √ √ √ × × ① ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ 等差数列的性质： （1）如果｛an｝ 是等差数列，则｛man｝(其中m是常数）也是等差数列. (2)如果｛an｝ 是等比数列，则｛man｝(其中m是非零常数）也是等比数列. （3）如果｛an｝ 是等差数列，则｛ank｝(其中k是常数）也是等差数列. （4）如果｛an｝ 是等差数列，则｛ ｝(其中C,p,r是常数）是等比数列. (5)如果｛bn｝是等比数列，则｛logapbnr｝(其中a,p,r是常数,p?1）是等差数列. *