杆两端分别沿墙面地面的运动.doc

杆两端分别沿墙面地面的运动 如图所示，轻杆两端各固定一个可以看作质点的相同的小球A和B，一端沿着竖直光滑墙面下滑，另一端沿着水平光滑地面滑动，设 开始时杆靠墙竖直放置，受到扰动 后开始运动。在A沿墙下滑过程中， 求：2球在任意位置的速度v和u。 解：建立如图所示的坐标系，在 t时刻，B和A的位置坐标分别为 1 对时间t求导数 1.1 第二式中的负号表示A沿墙下滑速度与y轴正方向相反。 1.2 机械能守恒 2 () 杆不伸缩 3 2-3.1 2-3.2 2-3.3 比较1.22-3.2： 1-2-3 对1.1求导并整理，得小球的加速度： 1.1.1 此时，A和B相对于杆上的一点C转动，该点到A距离z: ，到B点距离；C点坐标： ， 1.1.1-1 这是星形线。 转动角速度 A、B加速度随着θ的变化图像如下： (加速度随着杆与竖直方向夹角变化图像a/g) 由此可知，当(θ=48.19°)时，B的加速度为零，此时A的加速度恰为重力加速度，表明此时A球与墙面和杆无相互作用，即将离开墙。 因此上述讨论所得结果，适用范围是 1-1 从开始运动到A离开墙，所用时间由1-2-3第一式解出： 代入1.2整理得到： 4 说明：t=0时，θ不能为零，否则杆将无法沿着墙面下滑，或者下滑时间就会变为无限长。因此初始条件必须给定一个不为零的θ0，比如θ=π/1000.如此，并不影响机械能守恒的列式。 一般的，若初始位置的θ0不是很小，则运动时间t表示为一个椭圆积分。 继续讨论:A与墙面之间无相互作用后，2小球的运动情况： 因为系统水平方向不受任何外力，所以水平方向A、B系统动量守恒；因此，系统质心水平方向将以A刚脱离墙面时B的速度的一半匀速运动。此时B的速度最大 001 此时，A的竖直分速度 002 对B，因为在A脱离墙时刻速度达到最大，此后B速度减小，加速度向左所以杆对它有拉力；对A，脱离墙面后，受到重力和杆的拉力，竖直方向继续加速，水平方向速度从零开始增大。 对A和B组成的系统，水平方向动量守恒，设A的水平分速度为vx，vy；B速度仍用u表示，则 003 杆与竖直方向的夹角从α=arcsin(2/3)增加到θ(≤π/2)，A和B系统机械能守恒 004 A和B沿着杆方向的分速度相同： 005 006 整理以上各式得到 007 008 其中θ取值范围 A的水平、竖直分速度 009 010 当A刚触地时，B的速度为A刚离开墙时最大速度的一半；此时A的速度， 注：左上图蓝色曲线表示A沿墙面运动2小球的速度随着杆与墙面的夹角变化图像，红色曲线表示A脱离墙后，二者的速度图像。右上图蓝色曲线表示A被约束在墙上运动，二者的运动图像。 说明：1速度单位（杆长约为2.7m），横轴表示杆与竖直方向的夹角，纵轴表示速度。 角速度：由推出 011 求运动时间： 直接从上式中得到 012 从A离开墙面到落地，取φ=π/2，可以得到所经历的时间为 上述被积函数没有初等原函数，只能采取数值积分求出数值结果。 与竖直下抛比较可知，A的运动时间短。 A的位移x=x(θ)，y=y(θ)： ；这个结果是意料之中的。 加速度 A的加速度 B的加速度 可以推知，当时， a[y]最大，此时θ=1.201258570rad=68，加速度最大值1 附注：靠墙的小球脱离墙面时，杆与墙面之间夹角的另一推导： 3代入2解得B球的动能： 所以当时，B的动能最大，最大值为 解：（1）杆的角速度ω：从开始滑落到图示位置，机械能守恒： 《1》 是杆的质心C（中点）对地的速度，ω为杆对质心C的角速度。 在图示位置，杆的转动瞬心D是以杆为对角线的矩形与墙角相对的一个顶点，D到C的距离 d=l/2，此时质心速度符合 《2》 代入《1》解得此时杆对瞬心的角速度 问题：质量为m的均质杆长度为，原先竖立靠在墙面，因扰动而开始运动，其一端沿着地面，另一端沿墙滑落。不计一切摩擦，求当杆与地面成夹角θ时，受到地面和墙面的支持力。 解：为简便起见，设建立竖直向上为+y，水平向左为+y，墙角为坐标原点。此刻质心C的位置坐标 《1》 对时间求一阶、二阶导数得到： 《2》 《3》 从开始滑落到图示位置机械能守恒 《4》 《5》 代