算术与几何平均数.ppt

* 求差比较法 a - b0 === ab , a - b=0 === a=b , a - b0 === ab . 如果a、b∈R ，那么( a-b ) 2属于什么数集？为什么？ 当a=b时, (a-b) 2 =0,当a ? b 时, (a-b)2 0， 所以 ( a-b ) 2≥0 ，即 ( a-b ) 2∈ R+U{0} 下面我们根据( a-b ) 2 ∈ R + U{0}这一性质， 来推导一些重要的不等式. 1．算术平均数与几何平均数 一、重要不等式的推导 1、奠基 课题 ii〉定理 如果a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。 i〉如果a、b∈R,那么有 ( a-b ) 2≥0 ( 1 ) 把(1)式左边展开，得 a 2 -2ab+b 2 ≥ 0 ∴ a2+b 2 ≥2ab ( 2 ) (2)式中取等号成立的充要条件是什么？ 公式 2、探索 设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式(2)，有 a 2 +b 2 ≥2ab; b 2 +c 2 ≥2bc; c 2 +a 2 ≥2ca. 把以上三式叠加，得 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加. ３、推论 公式 定理的推论 ： 如果a、b＞0,那么 (当且仅当a=b时取“=”号) ４、两 个 概 念 公式 如果a1，a2，…，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+···+an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数 ， 叫做这n个正数的几何平均数 。 ? a1a2···a n n 上式表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。 ５、深化 公式 公式（a+b ) / 2 ≥ 　　　 还可以用几何法证明。 它的几何意义是：半径≥半弦，如下图所示。 ５．应用 定理 如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 推论 如果a、b 0,那么(a+b)/2 ≥ (当且仅当a=b时取“=”号) ab 已知　　　　　证明： 平方、 算术、 几何、 调和 小结 注意；（1）定理与推论的前提条件与等号成立的条件。 （2）正用、逆用与变行用。 公式 a2+b 2 ≥2ab ⑵ a3+b3+c3 ≥3abc