算法第9章NP完全性理论与近似算法.ppt

第9章 NP完全性理论与近似算法 学习要点 理解RAM，RASP和图灵机计算模型 理解非确定性图灵机的概念 理解P类与NP类语言的概念 理解NP完全问题的概念 理解近似算法的性能比及多项式时间近似格式的概念 通过范例学习NP完全问题的近似算法 （1）顶点覆盖问题； （2）旅行售货员问题； （3）集合覆盖问题； （4）子集和问题。 9.1 计算模型 在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型，包括定义该计算模型中所用的基本运算。 建立计算模型的目的是为了使问题的计算复杂性分析有一个共同的客观尺度。 3个基本计算模型： 随机存取机RAM(Random Access Machine)； 随机存取存储程序机RASP(Random Access Stored Program Machine) 图灵机(Turing Machine)。 这3个计算模型在计算能力上是等价的，但在计算速度上是不同的。 9.1.1 随机存取机RAM 9.1.1 随机存取机RAM 9.1.1 随机存取机RAM 9.1.2 随机存取存储程序机RASP 9.1.3 图灵机 9.1.3 图灵机 9.1.3 图灵机 9.2 P类与NP类问题 一般地说，将可由多项式时间算法求解的问题看作是易处理的问题，而将需要超多项式时间才能求解的问题看作是难处理的问题。 有许多问题，从表面上看似乎并不比排序或图的有哪些信誉好的足球投注网站等问题更困难，然而至今人们还没有找到解决这些问题的多项式时间算法，也没有人能够证明这些问题需要超多项式时间下界。 在图灵机计算模型下，这类问题的计算复杂性至今未知。 为了研究这类问题的计算复杂性，人们提出了另一个能力更强的计算模型，即非确定性图灵机计算模型，简记为NDTM(Nondeterministic Turing Machine)。 在非确定性图灵机计算模型下，许多问题可以在多项式时间内求解。 9.2.1 非确定性图灵机 9.2.2 P类与NP类语言 9.2.2 P类与NP类语言 9.2.2 P类与NP类语言 9.2.3 多项式时间验证 9.3 NP完全问题 P?NP。 直观上看，P类问题是确定性计算模型下的易解问题类，而NP类问题是非确定性计算模型下的易验证问题类。 大多数的计算机科学家认为NP类中包含了不属于P类的语言，即P≠NP。 NP完全问题有一种令人惊奇的性质，即如果一个NP完全问题能在多项式时间内得到解决，那么NP中的每一个问题都可以在多项式时间内求解，即P=NP。 目前还没有一个NP完全问题有多项式时间算法。 9.3.1 多项式时间变换 9.3.1 多项式时间变换 9. 3.2 一些典型的NP完全问题 9.4 NP完全问题的近似算法 9.4.1 近似算法的性能 9.4.2 顶点覆盖问题的近似算法 9.4.2 顶点覆盖问题的近似算法 9.4.3 旅行售货员问题近似算法 1 满足三角不等式的旅行售货员问题 2 一般的旅行售货员问题 9.4.4 集合覆盖问题的近似算法 9.4.4 集合覆盖问题的近似算法 9.4.4 集合覆盖问题的近似算法 9.4.5 子集和问题的近似算法 1 子集和问题的指数时间算法 2 子集和问题的完全多项式时间近似格式 2 子集和问题的完全多项式时间近似格式 课后作业 习题 9-1，9-3，9-4，9-5，9-9，9-16 集合覆盖问题近似算法——贪心算法 算法的循环体最多执行min{|X|，|F|}次。而循环体内的计算显然可在O(|X||F|)时间内完成。因此，算法的计算时间为O(|X||F|min{|X|，|F|})。由此即知，该算法是一个多项式时间算法。 Set greedySetCover (X,F) { U=X； C=?； while (U !=?) { 选择F中使|S∩U|最大的子集S； U=U-S； C=C∪{S}； } return C； } 问题描述：设子集和问题的一个实例为〈S,t〉。其中，S={x1，x2，…，xn}是一个正整数的集合，t是一个正整数。子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使得 。 int exactSubsetSum (S,t) { int n=|S|； L[0]={0}； for (int i=1；i=n；i++) { L[i]=mergeLists(L[i-1],L[i-1]+S[i])； 删去L[i]中超过t的元素； } return max(L[n])； } 算法以集