线性代数§5.1向量的内积.ppt

* §5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: x · y = | x || y | cos? . 设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则 x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . 由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念: 定义1: 设有n维向量 [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + ··· + xn yn, 称[x, y]为向量 x 与 y 的内积. 说明1. n(n?4)维向量的内积是3维向量数量积的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义. 说明2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: [x, y] = xT y. 我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广: 记 内积的运算性质 设x, y, z为n维向量, ?为实数, 则 (1) [x, y] = [y, x]; (2) [? x, y] = ?[x, y]; (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]; (4) [x, x] ? 0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0. 二、向量的长度及性质 称|| x ||为n维向量 x 的长度(或范数). 定义: 令 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: || x || ? 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0; (2) 齐次性: || ? x|| = | ? | || x ||; (3) 三角不等式: || x+y || ? || x || + || y ||. 单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x || ? 0, || y || ? 0 时, 称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 ? ? ? ? . 例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=1?3+2?1+2?5+3?1=18, 所以 故, 向量x与 y 的夹角为: 三、正交向量组的概念及求法 1. 正交的概念 2. 正交向量组的概念 　　若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则 x与任何向量都正交. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组?1, ?2, ···, ?r 是n维正交向量组, 则?1, ?2, ···, ?r 线性无关. 证明: 设有数?1, ?2, ··· ,?r, 使得: ?1?1 + ?2?2 + ··· + ?r?r = 0 向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广. 由于?1, ?2, ···, ?r 是两两正交的非零向量组, 当 i ? j 时, [?i, ?j]=?iT?j = 0, 当 i = j 时, [?i, ?i]=?iT?i ? 0, 则有 用?iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, ?1?iT?1 + ··· + ?i?iT?i + ··· + ?r?iT?r = ?iT0 = 0, ?i?iT?i = 0. 即 从而得, ?1=?2= ··· =?r=0, 所以?1, ?2, ··· ,?r 线性无关. 4. 向量空间的正交基 定义: 若正交向量组?1, ?2, ··· , ?r是向量空间V的一组基, 则称?1, ?2, ···, ?r 是向量空间V的一组正交基. 例2: 已知三维向量空间中两个向量 正交. 试求?3使?1, ?2, ?3构成三维空间的一组正交基. ?1=(1, 1, 1)T, ?2=(1, –2, 1)T 即 解之得 解: 设?3=(x1, x2, x3)T?0, 且分别与?1, ?2正交. 则有 [?1, ?3]=[?2, ?3]=0, x1 = –x3, x2 = 0. 若令 x3 = 1, 则有 构成三维空间的一组正交基. 则 5. 规范正交基 例如 定义: 设n维向量组e1, e2, ···, er是向量空间V?Rn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范(单位)正交基. 由于 所以, e1, e2, e3, e4为R4的一组规范正交基. 同理可知 也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组). 设e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基, 则V中的任一向量a可由e1, e2, ··