线性代数二次形及其标准型.ppt

* * * * * * * * 线性代数 第五章 * * * * * * * * 线性代数第一章 §1.1 §5.2 二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示 1、二次型 定义1 . n个变量 的二次齐次函数 2、 二次型的矩阵表示法 令 其中 A是一个n阶对称矩阵 称为二次型的矩阵表达形式 A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩. 说明： （1）二次型的矩阵都是对称矩阵； （2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）； 写出它的矩阵表达式。 例1： 解： 例2 解 0 2 0 ? ? ? ? 注 1、变量的线性变换 定义5.2 关系式 令 则线性变换的矩阵形式为 x = Cy 二.二次型的标准形. 说明 为满秩（或可逆）的线性变换，此时 （1）如果系数矩阵C可逆，即|C|?0，则称线性变换x = Cy （2）如果系数矩阵C为正交矩阵.则称线性变换x= Cy为 正交变换. 定义5.3 此形称为f的标准形. 标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明） 注： 二次型研究的主要问题是： 寻找满秩线性变换 ，化二次型为标准形 所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系： 因为有 定理5.1 3、矩阵的合同 合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。 因此二次型经过满秩线性变换后， 所得到的二次型矩阵B与原二次型矩阵A是合同的. 定义5.4 §5.3、化二次型为标准形 定理5.2 一、用正交变换化二次型为标准形 证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使 令正交变换x=Qy ，在此变换下 例4 解 二次型矩阵 A的特征多项式 A的特征值为 把?1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为 将它们正交化，得 再单位化，得 把?2=10代入齐次方程组，得基础解系为 单位化，得 正交矩阵 则 令正交变换X=QY，则 （注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 （二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 例2 解 把含有x1各项集中在一起 把含有x1各项配完全平方 把含有x2各项集中在一起，再配平方 令 ? 显然 则标准形为 验证 例3 解 令 有 构造平方项 令 ? 则 这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换： 显然 即 其中 2、 令 ? 这样计算对吗？ 正确的做法应该是什么？ （三）初等变换化二次型为标准形 即 用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵 与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换， 即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换. 例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换. B C 注意不是I 标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关， 而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是 唯一的，与所作的满秩线性变换无关 . 例如 ? ? 四. 惯性定理 定理5.4 （惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的 个数与负系数的个数分别相等. 定义：在二次型的标准形中，正系数的个数 P（唯一确定）称为 二次型的正惯性指数，负系数的个数 N （唯一确定）称为 负惯性指数，P+N=r.它们之差 s=P-N 称为符号差。 定理5.5 任意二次型f 均可经满秩线性变换 化为 二次型f的规范形 §5.4、二次型与对称矩阵的有定性 1、定义5.5 例1 正定 ? 例2 所以是半负定. 例3 是不定. 2、实二次型（实对称矩阵A）正定的判别方法：