线性方程组的直接解法(4).ppt

北京科技大学数理学院 卫宏儒 Weihr168@ 第4章:线性方程组的直接解法 2.Gauss消元法 （四）病态方程组： 如果方程组AX=b由于A或b的小扰动而导致解严重失真，则此方程组称为病态方程组，否则称为良态方程组。 判定一个病态方程组的简单方法； 病态方程组一般不能用解方程组的常有方法求解，而采用“迭代求精法”来计算。（列主元消元法的应用） （1）追赶法 ---追赶法与稀疏线性方程组 追赶法仍然保持LU分解特性，它是一种特殊的LU分解。充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单，得到对三对角线性方程组的快速解法。 因三对角矩阵的非零元素呈“带状”，我们也因此将它叫做带状矩阵。 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则A可以唯一分解为A= LDLT ，这里 应用实例与Matlab 方程组 此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右端加以微小的扰动使之变为： 经计算可得准确解为x1=2, x2=-3. 这两个方程组的解相差很大，说明方程组的解对常数项b的扰动很敏感。 同时注意到||A||=4.0001, ||A-1||=3.0001?104 ,故有Cond (A)=1.23 ?105 ,可见条件数很大。 一般来说，方程组的条件数越小，求得的解就越可靠；反之，解的可靠性就越差。 通常当从方程组A x = b求出计算解x**后，有时用残向量 r = b- Ax** 的大小来检验x**的精度，认为如果对某种范数||r||很小，就说明是好的。不过要记住这种处理在某些情况下是不准确的。 例如，对上述举例的方程组，当用某种方法求得计算解后，则有，显然||r||是很小的，但与其真实解相差很大。为说明这方面的原因，我们可以把残向量r看成是A x = b的右端有扰动的?b，由相对误差关系式，有： 不可轻易用残向量||r||的大小来判断计算解的精度。 (五)、LU分解法 1、LU分解法的基本思想 假定我们能把矩阵A写成下列两个矩阵相乘的形式：A=LU 其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。这样我们可以把 线性方程组 Ax=b写成 Ax=（LU)x=L( U x ) = b Ly=b 令 U x=y，则原线性方程组 Ax=b Ux=y 于是可首先求解向量y使 Ly=b 然后求解 Ux=y,从而求解线性方程组 Ax=b的目的。 定义： 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵 ，而且要求U的对角元素都是1。 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩到一个数组中，而且还可以存储在原来的系数矩阵A的数组中。这种LU分解常被称为紧凑格式. 由LU=A及对L和U的要求可以得到分解的计算公式。根据下式(Doolittle分解)： 1 l21 1 l31 l32 1 … … … ln1 ln2 … lnn-1 1 u11 u12 u13 … u1n u22 u23 … u2n … un-1n u(n-1)n unn = … … … … a ann L U n1 an3 … a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n a