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线性规划与单纯形法 线性规划 （LP： Linear Programming） 规划论中的静态规划 解决有限资源的最佳分配问题 求解方法： 图解法 单纯形解法 线性规划简介 1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用一线性规划方法。 1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形法，为线性规划的理论与计算奠定了基础。 随着电子计算机的出现和日益完善，规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门都可以发挥作用。 决策变量 决策问题待定的量值称为决策变量。 决策变量的取值要求非负。 约束条件 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。 约束条件是决策方案可行的保障。 LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。 目标函数 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。 目标函数是决策变量的线性函数。 有的目标要实现极大，有的则要求极小。 1线性规划问题及其数学模型 以上两例都有一些共同的特征： ⑴用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。 ⑵存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。 ⑶都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)。 可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部。 唯一最优解：只有一个最优点。 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件） 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集 练习:用图解法求解以下LP模型 Answer 1.3 线性规划的标准型 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如 目标函数有极大化和极小化； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标准型可以转化为标准型。标准形式为： 目标函数极大化 约束条件为等式 右端常数项bi≥0 决策变量非负。 1. 代数式 目标函数极小化问题 目标函数为 min z=c1x1+c2x2+?+cnxn 令z?=-z ,变为 max z?= -c1x1- c2x2- ? -cnxn 右端常数项非正 两端同乘以 -1 约束条件为不等式 当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量，就把不等式变成了等式； 当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可。 决策变量xk没有非负性要求 令xk=xk′-x k〃， 其中xk′，x k〃 ≥0，用xk′、x k〃 取代模型中xk 标准型 1.4 线性规划问题的解的概念 可行解： 满足约束条件AX=b, X≥0的解。 最优解： 使目标函数达到最大的可行解，称为最优解。 基 设A是约束方程组的m×n维系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中的m×m阶非奇异子矩阵，则称B是线性规划问题的一个基。 m＜n，且m个方程线性无关，即矩阵A的秩为m；根据线性代数定理可知，n＞m，则方程组有多个解，这也正是线性规划寻求最优解的余地所在。 线性方程组的增广矩阵 基矩阵： 系数矩阵A中任意m列所组成的m阶非奇异子矩阵，称为该线性规划问题的一个基矩阵。 或称为一个基，用B表示。 称基矩阵的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,…,m) 。 基变量： 与基向量Pj相对应的m个变量xj称为基变量， 其余的m-n个变量为非基变量。 基解： 令所有非基变量等于零，对m个基变量所求的解 对应一个特定的基矩阵能求得一组唯一解，这个对应于基的解称为基解。 结合图解来看，基解是各约束方程及坐标轴之间交点的坐标。 基可行解：满足非负性约束的基解称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 定理1.若线性规划问题存在可行域，则其可行域一定是凸集。 定理2.线性规划问题的基