线段垂直平分线定理及逆定理.ppt

1 已知：如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°AB=3,AC=5,BC边 的垂直平分线DE交BC于点D, 交AC于点E, △ABE周长 基础过关 如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=15°，AB的垂直平分线交 B C于点D，如果BD=8 cm ∠ADC=_____AC=___ 已知：如图，P为线段AB外的 一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平 分线上。 证明：过点P作直线EF⊥AB,垂足为O,则 ∠POA=∠POB=90°﹙ ﹚ 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB ﹙ ﹚ PO=PO﹙ ﹚ ∴Rt△PAO≌Rt△PBO﹙ ﹚ ∴AO=BO﹙ ﹚ ∴EF是线段AB的垂直平分线﹙ ﹚ ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线上。 1、﹙2008.孝感市﹚AB=AC, ∠BAC=120°,AB的垂直 平分线交BC于点D,那么 ∠ADC=________ 在△ABC中，∠B=90°,点 D为BC延长线上一点，且 CD=AB,DE∥AB,AC⊥CE ,垂足为O,求证：点C在线段 AE的垂直平分线上。 已知：AD平分∠BAC,EF垂直平分 AD,交BC延长线于点F,连结AF 求证：∠B=∠CAF. 3.已知:如图,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则? 1= , ? 2= . A B C D M N 30o 1 2 75o 30o 60o 45o 填空： 4.已知:如图,在?ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ?ABD的周长为13cm,则?ABC 的周长 为 cm A B D C E ? 3cm 3cm 19 13cm 证明题:1.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD 平分?ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A B C D ? 证明: 30o ∵ ? C=90o, ? A=30o(已知) ∴ ?ABC=60o(三角形内角和定理) ∴ ? A= ?ABD (等量代换) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.) ∵BD平分?A BC(已知) ∴ ?ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ AD=BD(等角对等边) * * 问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址. ? ? ? A B C A B M N C ? ? P M N ? C A B Q ? A B M N P . Q . C ? 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 定理 (线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 定理 线段垂直平分线的性质: 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 已知：线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO,点P是EF上异于点O的任意一点。 求证：PA=PB A B C N ? M P 证明: ∵MN?AB（已知） ∴?PCA=?PCB(垂直的定义) 在?PCA和?PCB中, AC=CB(已知), ?PCA=?PCB(已证) PC=PC(公共边) ∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A B C M N ? P 当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷? ?PCA与?PCB将不存在. PA与PB还相等吗? 相等! 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB ? A B C M N P ● C A E D B 8 4cm A C B D 30° 已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上? P A B M N ? ? C ? P / 这样的点P /不存在 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 逆定理 P F E O A B 垂直定义 已知