线段垂直平分线的性质(课时1).ppt

* 线段的垂直平分线 威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1 烟 威 高 速 公 路 实际问题2 在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 院的院址应选在何处？ A B 教学目标： 理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算。 知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力。 教学重点、难点： 1.线段垂直平分线定理及其逆定理的推导。 2.定理及逆定理的区别和联系。 A B 线段的垂直平分线 PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得出什么规律 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线 A B P M N C PA=PB 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 已知：如图， 点P在MN上. 求证： 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90度 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB 线段的垂直平分线 A B P C 性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 ? 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。 逆命题: 几何语言叙述: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。 线段的垂直平分线 A B P M N C PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线 一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合 任何图形都是由点组成的。因此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？ 1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。 2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。 3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。 线段的垂直平分线 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上; B A C M N M’ N’ P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 你能依据例2得到什么结论？ 例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上; 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.