组合数学算法(二) (2).ppt

二、组合 与排列不同，组合是研究无次序的选取问题。 定义：从n个不同元素中无次序地选取k个，叫做从n个元素中选k个的一个组合。记 或 其中 中C是Combination的第一个字母， 而 是Andreas Von Ettingelausen(1796—1876)发明的 排列与组合的关系： ∴ （1） 由（1）可推出组合数的两个基本恒等式： (i) (ii) 另外，还约定：当kn及k0时，都有 ， ， 例1 印度人早已了解组合规律，大约在公元前六世纪的一本书就记载了如下问题：“甜、酸、咸、辣、苦、涩六味可以调出多少种味道？” 书上所附答案是：“六种单味，十五种双味，二十种三味，十五种四味，六种五味，一种六味。” 这就是组合数 例2 公元628年写的一本书中还有这样一道题：“一位有经验的建筑师为国王建造一座雄伟的宫殿，这座宫殿有八个门，每次开一个门，或二，三， …，共有多少种不同的开门方式？” 答：255种 *例3 在一平面直角坐标系中考虑格点（x，y），其中x，y? Z 满足1≤x≤12，1≤y≤12。将这144个格点分别染成红、白、蓝三色。证明：存在一个长方形，它的边平行于坐标轴，它的顶点具有相同的颜色。 证：首先这三种颜色的点中，至少有一种不少于144/3=48个，不妨设为红 色点。设这些红点中，纵坐标y=j的点有mj个（1≤j≤12），则 。 又由y=j的红点连得 条不同的线段。于是知由这些红点至 少可以连得 应用二次平均与 算术平均不等式得 （条）不同的平行于x轴的线段。 这些线段在x轴上投影均落在1≤x≤12中。但该区间中，由坐标为整数的 点所连成的线段一共只有 =? x12x11=66条。由此可知，上述平行于x轴的线段的投影中必有一些相互重合，而投影重合的两线段的四个端点恰构成一个长方形的点。它们都是红色的，且长方形的边分别平行于二个坐标轴。 *例4 在平面上给定5个点，已知连结这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合。通过每一个点向其余4点的各条连线作垂线，这些垂线的交点最多有几个？（不包括原来的5个点） 解：由给定的5个点可两两连成 =10 条线段，由其中每4点可两两连成 =6 条直线。因此，由每个点都应引出6条垂线，一共有5x6=30条，如 果这些垂线中每两条都相交，则一共可交得 =435个交点。但这些垂线是分别向10条连线引出的，每一条连线上都有3条垂线（5点中除自连的两点外还剩3点，可向这条连线引垂线），这三条垂线互相平行没有交点，因此要减去10x3=30条。又由于由给定的5个点可构成 =10个三角形，上述30条垂线恰好是这些三角形的全部高，每个三角形中的三条高线相交于同一点，因而还要减去10x3-10=20。最后，由于经过每个原来的点的垂线都有6条，所以还要减去 =75 。因此得这些垂线的交点最多只能有435-30-20-75=310个。 435：是5个点中每点可引6条垂线（ ）共30条垂线，其中每二条交于一点共 30：原来5点两两连接共10条线，每条线上有3条平行垂线没有交点共10x3=30 20：每个三角形中三条高交于一点，不是一般的3点，所以要 （多出来的） 75：原来从每点向其他4点所成连线的垂线交于该点不算在内，故 例5 有两位高一学生参加高二年级的象棋比赛，比赛时每二个棋手都要对弈一局，胜者得1分，败者得0分，平局每人?分。现知两位高一学生共得8分，每位高二选手得分相等，而且都是整数。问高二有几位选手参赛？ 解：设高二有n位选手参赛，这样全部选手有n+2个，故赛局有 ，其中8局分数为高一生所得，其余 为高二生所得，并平分。 故有 =非负整数 即