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发表于《数学通讯》2014年第7期 关于三视图学习的几点补充 李素波 山西省阳泉市平定一中 045200 立体几何中的三视图是高中数学课改后的新增内容，也是高考的重点。然而必修2教材在介绍这部分内容时，却轻描淡写，没有交代清楚三视图知识结构的来龙去脉，致使很多学生对三视图掌握不够。本文笔者提出几点补充，供大家学习参考。 首先要搞清楚，什么是三视图？三视图，顾名思义就是“三个视图”，那么我们需先从 “一个视图”谈起。 如图1，物体在光的照射下，在地面或墙壁上投下影子，这种影子与物体的形状有一定的联系，我们把这种联系进行抽象和优化，得到了用于表达物体形状的投影法由于投影图与观察者用平行的视线看物体所得到的结果相近，所以一般称投影图为视图横看成岭侧成峰，远近高低各不同。为了能反映物体的全貌，一个视图三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条投影轴构成三投影面体系从物体的前面向后面投影在面所得的称视图从物体的上面向下面投影，在 H面所得的称俯视图从物体的左面向右面投影，在W面所得的称视图三视图是按正投影法绘制的因此正投影法是绘制和识读三视图的理论基础，是学习绘图和识图的前提V面，沿轴剪开，然后面绕X轴向下转90° W面绕Z轴向右90°。 此时如图3（右）所示，V面，H面和W面处于同一个平面上。这也就是教材上将“主视图在图纸的左上角左视图在主视图的正右方俯视图在主视图的正下方主视图反映物体的上下左右；俯视图反映物体的左右前后左视图反映物体的上下前后 事实上，许多学生只对于长方体这种方正的图形，才有长、宽、高任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸分析的前提必须先规定物体的长、宽、高尺寸方向。强调正对主视图（V面）的水平方向为物体的长度方向其宽度和高度方向就自然地确定下来了。由此可见每一视图只能反映物体两个方向的尺寸每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。归纳主视俯视长对正主视左视高平齐左视俯视宽相等 接下来，确定顶点P的位置，结合上文内容，通过正视图和侧视图应该可以确定出顶点的准确位置。由正视图可知，顶点P在在几何体的最左侧，换句话说，顶点P在底面上的投影落在AC上的某点处，然而到前后的距离，在正视图中无法体现。结合侧视图可知，顶点又在最前面。所以综上可知，顶点P在几何体的最左最前，也就是说顶点在点A的正上方。距离底面的距离，可以从正视图或侧视图得知，高度为3.所以，顶点P在点A的正上方，且竖直距离是3的位置。 如图7，该三棱锥的空间结构，已经确定下来了：在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是直角边是4的等腰直角三角形， ∠A=90°。侧棱PA⊥底面ABC，且PA=4。 本题要解决表面积，只需要逐一计算各个面的面积即可，笔者在这里不再赘述，表面积是。 例2.如图8为某空间几何体的三视图，求该几何体的表面积。 与例1对比可以发现例2与例1的正视图和俯视图是一样的，区别仅在于侧视图。所以底面ABC形状同上，此时确定出顶点P的位置是关键。结合正视图和侧视图可知，顶点P位于几何体的最左最后，如图9所示，也就是说，顶点P在点C的正上方，竖直距离仍然是3个单位。 如图9所示，与例1相比，该三棱锥的空间结构大有不同，三个侧面的形状与例1中的三棱锥是不一样的，自然表面积也就变了。经计算得，表面积是。 在例1和例2中，若搞不清楚视图与几何体的方位关系，这两道题是极容易混淆的。 例3.设某几何体的三视图如图10,还原该几何体。 同上，仍然从底面入手，观察俯视图从而确定底面的形状，画图时要使AB边正对着主视方向。如图11所示。关键还是确定顶点P的位置。由侧视图可知，顶点P在几何体的最后面，也就是说顶点P在底面的投影落在AC上，再由正视图俯视图长对正，可知，顶点P投在AC的靠近点C的四等分点处，且高度为2。 于是如图11所示，该几何体的空间结构是：在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且点P到底面的距离为2.顶点P在底面的投影O，位于AC上，且满足AO=3，OC=1.底面△ABC的边AC=4，且AC边上的高为3。 掌握了上文所讲，即便你的空间感比较差，也可以轻易的解决棱锥的三视图问题。当然，对于三视图，更多的是考察学生的空间想象能力，对于棱柱、简单组合体等几何体，需要利用三视图，并充分发挥空间想象能力，才能准确还原几何体。希望本文能对大家的三视图学习起到一定的借鉴作用。 参考文献： 《机械制图》金大鹰.北京：机械工业出版社，2002.5