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关于有唯一解的方程若关于x的方程(a+b)/x+a/b=-1有唯一解,则a,b满足的条件是?
这是一个分式方程的问题,解决这类问题的关键是排除等号恒成立的条件,具体解答如下:
把方程化简得:
(a+b)/x=-(a+b)/b (此部即把分式a/b移到等号右面并化简)
此时方程两边有相同的多项式(a+b),此时千万不能约掉,因为关键就这里,方程两边约的条件是约去的东西不为0,即(a+b)为0则方程两边全为0,此方程恒成立,则X有无数解。因此:要是方程只有一解则要(a+b)不等于零,则两边约掉(a+b) 可得X=-1/b
什么情况下分式方程无解
解分式方程一般情况下都是将分式方程转化为整式方程,然后再求分式方程的解。有的分式方程有解,有的分式方程无解,分式方程无解可以从两个角度进行考虑:
一是分式方程转化为的整式方程无解;
二是分式方程转化为的整式方程有解,但是这个解使分式方程的最简公分母的值为0。
例题、关于x的分式方程无解,求m的取值。
分析:分式方程无解有两种情况:一是去分母之后所得到的整式方程无解,二是去分母之后所得到的整式方程有解,但是这个解又使分式方程的最简公分母的值为0,这时分式方程也无解。所以要想根据分式方程无解来确定待定字母的取值,就必须考虑以上两种情况。
解:原方程两边都乘以,约去分母得,
整理得。
第一种情况:当时,这个整式方程无解,所以当时,原方程无解。
第二种情况:对于方程,当时,3是原方程得增根,原方程无解,所以当时,即时,原方程无解。
所以当m的值为或者时,原方程无解。
一、分式方程无解不一定就产生增根
要弄清这个问题,首先要搞清楚:什么是分式方程的增根?简言之,能使分式方程的最简公分母为零的根就是其增根。再次必须知道:增根也是根,它是原分式方程去分母后所变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了,而在这种情形下就没有增根产生。举例如下:
例1.解方程: (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2
分析: 去分母得:x-1=3-x+2x+4
移项,合并同类项得:0x=8
因为此方程无解,所以原分式方程无解.
例2.解方程: (x2 +2)/( x2 -4)=2/(x+2)-1
分析: 去分母得:x2+2=2x-4-x2+4
移项,合并同类项得:x2-x+1=0
=1-40 ∴此方程无解 原方程无解.
二、分式方程产生增根时也不一定就无解
如果分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程,它的解恰能使最简公分母为零,这个根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一个,所以,这时的原分式方程无解;若所变形而成的整式方程是一元二次方程时,情形就不一样了。举例如下:
例3.解方程: 1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)
分析: 去分母得:1+3x-6=x-1
解得:x=2
经检验: x=2是增根
所以原方程无解.
例4.解方程: x/(x-1)-2/(x+1)=4/( x2 -1)
分析: 去分母得:x2+x-2x+2=4
解得:x1=2,x2=-1
经检验: x=2是原方程的根,x=-1是增根
所以,原方程的根为x=2.
因此,弄清增根与无解的区别,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。
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