绘制根轨迹的规则.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 解虚部方程得 由于 不是根轨迹上的点，应舍去. 故 为根轨迹与虚轴的两个交点。 将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。 系统的根轨迹如图4-10所示。 当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值 和根轨迹与虚轴的交点 。 * 图4-10 根轨迹与虚轴的交点 w j [s] 1 p 2 p 3 p -1 -2 -3 0 ) 60 ( 3 . 3 = rc K j  ?∞ r K d s  ?∞ r K ) 60 ( 3 . 3 = rc K -j * 以上条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 ⑴根轨迹的起点（开环极点 )用符号“ ”标示；根轨迹的终点(开环零点 )用符号“ o ”标示。 ⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。 ⑶要标出一些特殊点的 值，如起点（ )，终点（ )；根轨迹在实轴上的分离点d ( )；与虚轴的交点 （ ）。还有一些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。 * 例4-7 已知系统的开环传递函数为  试绘制该系统完整的根轨迹图。 解 ⑴该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s平面上。 三、绘制根轨迹图示例 ⑵由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。 ⑶根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 由于没有开环零点（m=0）, 三条根轨迹的终点均在无穷远处。 * 当k=0时 当k=1时 当k=2时 ⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。 * ⑸由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上 到 的线段和由 至实轴上负无穷远线段。 ⑹由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为 。 ⑺ 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。 * 解虚部方程得 其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为 将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值 。绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。 ⑻由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的 开环根轨迹增益的临界值 。用 代入特征方程得 * 图4-11 例4-7系统根轨迹图 * 解 ⑴是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 ⑵由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极 , 根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。 ⑶由规则五知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根轨迹。 例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 ⑷由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是 * 即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 。 ⑸由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。 * 证明 已知系统的开环零点和极点分别为 ， ，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s、 、 和 代入得 即 应用三角公式 ⑹为准确地画出S平面上根轨迹的图形