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关于确界性质的讨论 岳俊瑞 黄小琳 （安康学院数学系 陕西 安康 725000） 摘 要：在集合内讨论确界与最值的关系,并用它解决有关问题,研究数集四则运算后集合的确界的性质,以及讨论在数列中确界与极值的关系. 关键字：确界；最大值；最小值 一.确界的概念 上确界的定义:是集合,是常数,是的最小上界,称是的上确界.记为 ①对； ②对. 下确界的定义:是集合,是常数,是的最大下界,称是的下确界.记为 ①对； ②对. 确界原理:设为非空数集,若有上界,则必有上确界;若有下界,则必有下确界. 二．确界的性质 关于数集的确界，一般的数学分析教材主要讨论一个集合的确界情形，比如什么样的集合存在确界，确界在存在情况下有哪些性质等，在这里我们讨论了一下确界与最值之间的关系，有助于大家对确界的理解. 1.确界与最值的关系. 1.1当集合存在上、下确界时,最大值、最小值不一定存. 例如：对于，有,,但是该集合并不能取到最大值与最小值。 1.2当集合存在最大值(最小值)时,则上(下)确界一定存在且等于最大值(最小值). 例如：对于，有,,该集合的最大值与最小值也分别是1,0。 1.3当集合存在上确界（下确界）且上确界（下确界）包含在这个集合中,则这个集合有最大值（最小值）,其值就为上确界.. 此性质也可转述为: 证明:设则对一切有,而,故是数集中最大的数,即. 设则对一切有,而,故是数集中最小的数,即. 例如:对于,因,等价于,即有,. 有界性是函数的一个重要特点,但并不是所有的函数都具有该性质,为了加强对有界性的理解,我们应该熟悉掌握一些关于有界性的性质.以下介绍了它的几个简单性质. 2.函数在四则运算法则下确界的性质 2.1.设、为定义在上的有界函数,满足,. 则 证明:记,则对任意有,,又因,所以.因此是的上界,而是的最小上界,故. 同理可证. 2.2. 证明:[思路分析]下确界仍是下界且下界之和仍为和的下界. .即是在D上的一个下界.由下确界的定义, 另一方面，由下确界的定义, 由上确界的定义,得 2.3.设为定义在上的有界函数,则: 证明:.由下确界的定义知,对任意的,即,可见是的一个上界;对任意的,存在,使,即,可见是的上界中最小者. . 同理可证结论成立,也可直接用的结论来证.事实上,在中换 例如:设为定义在上的有界函数,且 , . (3) . . 2.4.设、为上的非负有界函数,； 证明: , , ,. , , 成立 3.确界在收敛数列中有着广泛的应用. 特别的当一个数列单调时,极限与确界有着紧密的联系,这就是以下所叙述的单调有界定理. （单调有界定理）在实数系中,有界的单调递增（递减）数列必有极限，且极限为其上确界(下确界). 证明：为有上界的递增数列.由确界原理,有上确界,记. 的极限.事实上,,按上确界的定义，存在中的某一项,.又的递增性,当时有 , 这就证.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限记为它的下确界. 证明：不妨为有上界的递增数列。由确界原理，数有上确界，记.下面证明就的极限.事实上，任，按上确界的定义，存在数中的某一，使.又的递增性，当 , .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限记为它的下确界. 例 设 证 显然是递增的，下证有上界并且极限为上确界.事实上, ① ② ,于是由单调有界定理，收敛. 参考文献： [1]华东师范大学数学系．数学分析(第3版)[M]．北京：高等教育出版社，2001． [2]孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法[M]．长沙：湖南科学技术出版社，198. [3]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993． [4]吴良森，毛羽辉等．数学分析习题精解[M]．北京：科学出版社，2002．