函数、极限与连续.docxVIP

第一讲函数、极限与连续一、考试内容与要求1 函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，为分段函数.（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性注：变限积分所定义函数或的特性：若f(x)为奇（偶）函数，则为偶（奇）函数；若f(x+T)=f(x),且，则仍为以T为周期的周期函数.[例 ] 设函数f(x)连续，则在下列函数中，必为偶函数的是（A）（B）(C) (D) [解] 直接利用上述结论或取特殊值法，如f(x)=1, 排除(A),(B); 又取f(x)=x，排除(C).2 极限(1) 数列的极限：(2)函数在一点的极限的定义：(3)单侧极限: 1) 左右极限2) 极限存在的充要条件：(4)极限存在的准则1) 夹逼定理：数列情形，函数情形2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算(6)两类重要极限: , (7)无穷小量与无穷大量1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异）3) 无穷小量与无穷大量的关系(8)无穷小量阶的比较§3 连续1) 连续的定义2) 区间上的连续函数3) 间断点及其分类4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理注：复合函数求极限公式二、重要公式与结论1 常见极限不存在的情形：1) 方法：用无穷小量乘有界变量2）方法：分或讨论.2特别：若3 无穷小量的等价代换若，则，，当时，常见无穷小量的等价代换：若，则有特别注意：（，（），（）4 若由此有三、典型题型与例题题型1求函数的极限[分析] 未定式类型：[解题提示]常见方法：1) 极限运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必达法则例1 求极限例2 求型未定式例3 , 例4;例5求极限例6求题型2求极限的逆问题[解题提示] 方法：1）运算法则，2）等价代换，3）洛必塔法则，4）(用泰勒公式)例7试确定a,b,c的值，使例8 已知(A) 0, (B) 6, (C) 36, (D) ∞题型3无穷小量的比较例9 设当x0时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小量，则正整数n等于(A) 1（B）2 (C) 3（D）4题型4求数列的极限[解题提示] 方法：(1)转化为函数极限：例10计算(2) 利用单调有界数列收敛准则例11设x1=a0, 证明：数列的极限存在并求其值。(3) 利用夹逼定理(适合n项求和的情形)(4) 利用定积分定义(适合n项求和的情形)公式： 1）2）例12求题型5判断函数的连续性与间断点的类型例13求函数的间断点，并指出其类型。题型6 综合题例14已知f(x)在（内可导，且，，求c的值.例15 1）证明当x0时，2）令 ，则单调增加且有上界，从而存在.例16由拉格朗日中值定理有，其中，则.补充练习题：1、求极限 [ ]2、求极限 [ ]3、求 [ ]4、求 [ ]5、求极限 [ ]6、求极限 [ 1 ]7、[x]表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使存在，并求出此极限。 [a=-2, 2]8、已知当 时，是的高阶无穷小，则a= ,b= . [ ]9、设常数，求极限 ， [ ]10、设试补充定义f(0),使得f(x)在上连续。