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函数与方程思想和数形结合思想
主干知识整合
1.函数与方程思想
(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质,使问题得到解决;
(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决;
(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.
2.数形结合思想
(1)根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面;
(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程;
(3)数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野.
/view/2045453.htm
【百度百科】属性结合/view/134322.htm
要点热点探究
? 探究点一 列方程(组)解题
例1 (1)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18 B.24 C.60 D.90
(2)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
【分析】 (1)根据数列中的基本量方法,列方程组求数列的首项和公差;(2)根据弦长公式建立关于p的方程.
(1)C (2)2 【解析】 (1)由a=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.故选C.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知过焦点的直线方程为y=x-,联立有消元后得x2-3px+=0.又|AB|=x1+x2+p=8,解得p=2.
例2 (1)已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5,则数列{an}前n项和Sn的最大值是________.
(2)长度都为2的向量,的夹角为60°,点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上,=m+n,则m+n的最大值是________.
【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差,建立Sn关于n的函数;(2)将向量坐标化,建立m+n关于动向量的函数关系.
(1)4 (2) 【解析】 (1)设{an}的公差为d,由已知条件,解出a1=3,d=-2.
Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.所以n=2时,Sn取到最大值4.
(2)建立平面直角坐标系,设向量=(2,0),向量=(1,).设向量=(2cosα,2sinα),0≤α≤.由=m+n,得(2cosα,2sinα)=(2m+n,n),
即2cosα=2m+n,2sinα=n,解得m=cosα-sinα,n=sinα.
故m+n=cosα+sinα=sin≤.
若a1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是( )
A.(1,) B.(,)
C.[,] D.(,)
B 【解析】 e2=2==1+2,因为是减函数,所以当a1时,01,所以2e25,即e.
例3 已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数).
(1)设a0,问是否存在x0,使得f(x0)g(x0)?若存在,请求出实数a的取值范围,若不存在,请说明理由;
(2)记函数H(x)=[f(x)-1]·[g(x)-1],若函数y=H(x)有5个不同的零点,求实数a的取值范围.
【解答】 (1)假设存在,即存在x0,使得,
f(x0)-g(x0)=x0(x0-a)2-[-x+(a-1)x0+a]
=x0(x0-a)2+(x0-a)(x0+1)=(x0-a)[x+(1-a)x0+1]0,
当x0时,又a0,故x0-a0,
则存在x0,使得x+(1-a)x0+10,
当即a3时,2+(1-a)+10得a3或a-,a3;
当-1≤≤即0a≤3时,0得a-1或a3,a无解.
综上:a3.
(2)据题意有f(x)-1=0有3个不同的实根,g(x)-1=0有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.
(i)g(x)-1=0有2个不同的实根,只需满足g1a1或a-3;
(ii)f(x)-1=0有3个不同的实根,
当a即a0时
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