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函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。 解：∵ ∴ 显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。 解：∵ 故函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。 解：原函数化为关于x的一元二次方程 （1）当时， 解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为 例5. 求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵ ∴ 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 代入方程（1） 解得： 即当时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。 解：由原函数式可得： ∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： 即 ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。 解：令 则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。 解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数 所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。 解：令， 则 ∵ 又，由二次函数的性质可知 当时， 当时， 故函数的值域为 例12. 求函数的值域。 解：因 即 故可令 ∴ ∵ 故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 可令，则有 当时， 当时， 而此时有意义。 故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。 解： 令，则 由 且 可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。 解：由，可得 故可令 ∵ 当时， 当时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。 解：原函数变形为： 当且仅当 即当时，等号成立 故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。 解： 当且仅当，即当时，等号成立。 由