分块矩阵的初等变换及应用.docVIP

分块矩阵的初等变换及应用 钱拓宽 （绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作. 关键词：分块矩阵；初等变换；应用 1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1　分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置; （2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个阶左(右)保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或= （2） =或= 其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子； = 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1　(1)交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i)阶单位矩阵, 为ｈ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i)阶单位矩阵, 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵； (2) 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故;同理. 所以有==(-1)或==（-1） ==或= ==== 定理3　分块矩阵进行初等变换后,秩不变. 证明: 对于(1),相当于对进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立. 定理4　(1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)ｍ时有无穷多解, 当(Ａ) (Ａ,Ｂ)时无解; (2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ)= =ｎ时有唯一解,当(Ａ)= ｎ有无穷多解, 当(Ａ) 时无解. 证明: (1)设(Ａ)= (Ａ,Ｂ)ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使， 其中为ｒ阶单位矩阵, 为ｒ阶方阵,设, 则有: = = =B 所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中, 是任意的. 当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(　Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 　 ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: ;当(Ａ) (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解. 同理可证(2)成立(当(Ａ)= ( , )ｎ时,X=P ) 定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果( )= ( ,)= (,), 则称为极大元. 定理5　分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元. 证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，, 令Ｋ=-Ｐ,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则 K+ =， 所以 第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-, 则Ｋ′+ =0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列, 得. (如先进行列变换,再进行行变换,得, 因为=+=+,