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分式函数值域解法甘肃省定西工贸中专文峰分校　张占荣 ? 一、相关概念 ? 函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。 函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。 ? 二、分式函数的类型及值域解法 ? 类型一：一次分式型 ? 一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。 1.y= (a0)型 例１　求函数y=的值域。 解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==， ?? 。 解：反解y=得x=， ??? y= (x)， ??????? y= 的值域为y。 2.y= (a0) 分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。 ??? 即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。 例２　求函数y=的值域。 解：由y=得，sinx=， ?? -1≤sinx≤1， ?? ∴-1≤≤1， ?? 解之得≤y≤3。 3.y=或y= (a0)型 分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。 即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。 例３　求函数y=的值域。 解：∵2cosx+100， 3sinx-2ycosx=10y+3。 ??? , 其中， ??? 和得， ??? ,整理得8y2+5y≤0。 ??? ∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。 ? 类型二：二次分式型 ? 二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。 １.y= (a、d不同时为0)，x∈R型 分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。 即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0（=f(y)）,即可求出值域。 例４　求函数y=的值域。 解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。 y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-≤y≤。 R， y＝的值域为[-，]? 。 2.y= (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。 ??? 例５　求（x）的值域。 ???? 分析：因为x，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。 ???? 解：∵x?，? 0,0。 ???????? =1-4x+ =[(5-4x)+ ]-4 ≥2-4 =-2， ???????? 。 的值域。 ?? ?错解：=≥2。 ?? ?和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。 ??? 解：用单调性法 =， =t，显然t≥2，则y=t+ (t≥2)， 2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+， f(t1)- f(t2)=( t1+)-( t2+)=( t1- t2)( 1-)， 2≤t1≤t2?? ∴t1- t20, t1· t2≥4, 1-0， f(t1)- f(t2)=( t1- t2)( 1-)0? 。 f(t1) f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。 ∴当t=2、即=2、x=0时，ymin=， 。 ? 三、提炼知识，总结分式函数值域解法 ? 求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有： 1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。 2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。 3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2 (a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上