概率论与数理统计1.ppt

* 课件待续! * 证明 注：在运用全概率公式时，一个关键是构造一组合适的划分。 * * 定理：接上面全概率公式的条件，且P(A)0,则 称此式为Bayes公式。 * 例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为70%，若甲出差，则乙出差的概率为10%；若甲不出差，则乙出差的概率为60%。 (1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 * 解：设A={甲出差}，B={乙出差} * 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性： 若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症} 则有： 已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？ * 若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。 * * §6 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件次品。从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 不放回抽样时， 放回抽样时， * 即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响。同样，A2的发生对A1的发生概率不影响。 * 定义：设A，B为两随机事件，如果P(AB)=P(A)*P(B)，则称A，B 相互独立. 若 ， P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)， P(AB)=P(A)P(B)也等价于P(A|B)=P(A). * * 定义： * * * * 注意： 2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。 * n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： , p(A)=p, 0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。 在相同条件下 重复进行 即每次试验结果 互不影响 * * * * * 例：有5个独立元件构成的系统(如图1)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。 * * * 例：一袋中有编号为1,2,3,4共4个球，采用放回抽样，每次取一球，共取2次，记录号码之和，这样独立重复进行试验，求“和等于3”出现在“和等于5”之前的概率。 * 解：设A表示“和等于3”出现在“和等于5”之前， B表示第一次号码之和为3， C表示第一次号码之和为5， D表示第一次号码之和既不为3也不为5。 * 在第一次和不等于3或5的情况下求A的条件概率，相当于重新考虑A的概率。 * 例：某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故。设他每次操作发生事故的概率为p，p0，但很小很小，他独立重复进行了n次操作， 求(1) n次都不发生事故的概率；(2) 至少有一次发生事故的概率。 * 解：设A={n次都不发生事故},B={至少有一次发生事故},Ci={第i次不发生事故},i=1,2,…,n * 上式的意义为：“小概率事件”在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。 * 解3：将第k次摸到的球号作为一样本点,由对称性，取到各球的概率相等 * 例5：（配对问题）一个小班有n个同学，编号为1, 2, …, n号，中秋节前每人准备一件礼物，相应编号为1, 2, … ,n。将所有礼物集中放在一起，然后每个同学随机取一件，求没有人拿到自己礼物的概率。 * 解：设 表示第i人拿到自己的礼物，i=1,2,…,n， A表示至少有一人拿到自己的礼物。 * * * 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 * 例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的? * 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3. * 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。 §5 条件概率 例：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） * 解： 由题意，样本空间为 表示事件“ 至少有一个是女孩”， * 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一种， 所以有 在这个例子中，若不