自考概率论课件第四章数字特征.ppt

一、协方差 1. 协方差的定义 定义 对于二维随机变量(X,Y),称E[(X-EX)(Y-EY)]为X与Y的协方差 记作Cov(X ,Y), 即 Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] 注：10X与Y的协方差是反映X与Y之间相关关系的一个特征数. 2.协方差的计算 协方差的计算公式 两个重要结论： （1）若X与Y独立，则 Cov(X ,Y)=0. （2）对X与Y有 D(X ± Y)= DX + DY ± 2Cov(X , Y) 20协方差是方差的推广，或方差是协方差的特例：Cov(X, X)=DX. 反之不然. §4.3 协方差 相关系数 Cov(X ,Y)=E(XY) –EX EY 例1 设二维随机变量 (X ,Y) 的联合分布如下表所示， 求 Cov(X ,Y). X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 X -1 0 1 Y -1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 P 3/8 2/8 3/8 解：可求出(X , Y )关于X ,Y的边缘分布： EX =(-1)?3/8+0?2/8+1?3/8=0 EY =0 故 Cov(X ,Y)=E(XY) - EX EY= 0 虽然 Cov( X ,Y) = 0，但 P(X =0, Y =0) ? P(X =0) P(Y=0) X ,Y不独立. X 与 Y独立 Cov(X ,Y) = 0 =0 解：由联合密度可求出 (X,Y) 关于X ,Y 的边缘密度函数分别为： 例2 设二维连续型随机变量 (X ,Y ) 的联合密度为： 　　　　　　　　　　　　x + y 0? x ? 1 , 0? y ? 1 f (x, y)= 0 其它 　　求： Cov(X ,Y). 解：因为 例3[例4-31]设(X,Y)圆域 上服从均匀分布，求Cov(X,Y),并问X,Y是否相互独立？ 可求得边缘分布为： 显然， 故X,Y是不独立. =0， 同理，EY=0. =0， 性质4 Cov ( X1+X2 , Y ) = Cov (X1, Y ) +Cov (X2, Y ) 性质1 Cov ( X, Y ) = Cov( Y, X ) 性质2 Cov ( X ,c ) = 0 性质3 Cov ( aX, bY ) = ab Cov( X, Y ) Cov( X, Y ) = E [(X –EX )(Y-EY )] 3. 协方差的性质 注： 协方差的缺点：Cov(X,Y)在一定程度上反映了X与Y的相关关系，但它是一个有量纲的量，即：若X、Y各放大k倍，直观讲X与Y之间的关系不应因放大相同倍数而变化，但是协方差在数值上是原来的k2倍, Cov(kX, kY) = k2Cov(X,Y). 1. 定义：对于二维随机向量 (X, Y) ,如果 DX 0,DY 0，则称　　　　 二、相关系数 则 为X,Y 的线性相关系数，简称相关系数. 记作?X,Y 或 ?XY 或 ? .即： 例1 已知DX=4, DY=25, ? =0.6, 求：D(X+Y), D(X-Y). 解： =0.6×2×5=6 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y) =4+25+12=41 D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X, Y) =4+25-12=17 * * 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 §4.1 随机变量的期望 一、 离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 P (X=xk )=pk k = 1, 2,… 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X 的 数学期望 简称期望或均值. 记作EX ，即EX = 否则称随机变量X的数学期望不存在. 注意