一类带外力场的逆平均曲率流的梯度估计.pdf

第37卷第4期 应 用 数 学 学 报 Vo1．37No．4 2014年 7月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAESINICA July，2014 一 类带外力场的逆平均 曲率流的梯度估计 刘艳楠 十 苏 梅 E京工商大学数学系，北京100048) (E-mail：~liuyn@th．btbu．edu．cn) 摘 要 本文研究由逆平均曲率加上—个常量支配的星形超曲面的发展运动．首先，我们利用 曲面的星形性质给出了流的等价同解方程，由此给出了流的短时间存在结果．接着，我们给出 了流在特殊外力项下的梯度估计，并同时证明在这个外力场下，曲面的星形性质是保持的． 关键词 几何发展方程；逆平均曲率流；梯度估计 MR(2000)主题分类 35K15；53A05 中图分类 O186．12；O175．26 1 引言 本文主要研究 dF = 出 (H一1一c)／：。=‘f， (1一．1) 其 中 ：=F(·，)：S 一R叶 是一族光滑闭超 曲面，舰 = (s)．日是 尬 关于外单位法向量 的平均曲率，c是 常数． 若 c=0，这个流是通常的逆平均曲率流．逆平均曲率流是得出广义相对论中能量 估计的重要方法，关于这一应用可以参阅 [1]．在 [2]中，作者Urbas证明了如果初始曲 面是严格凸的，则逆平均曲率流光滑解长时间存在且凸性保持，在流的过程曲面不断扩 张，如果对曲面做伸缩变换，则曲面收敛到圆球面．在 [3]中，Urbas对初始曲面是星 形曲面证明了上面结论，即若初始曲面是星形的且平均曲率大于零，则逆平均曲率流保 本文 2014年 1月 2日收到．2014年 1月 29日收到修改稿． 国家 自然科学基金 (No，北京市自然科学基金 (No．1132002)，北京市属高等学校高层次人才引进 与培养计划 (No．CITTCD201304029)和北京市组织部优秀人才 (No．2012D005003000004)资助项目． 622 应 用 数 学 学 报 37卷 持这一性质，且光滑解长时间存在．Gerhardt对星形曲面也证明了同样的结果，具体 参见 [4】．在 [5]中，Huisken，Ilmanen给出了平均曲率的精确下界，由此他们证明了如 果初始曲面是星形且平均曲率非负，则逆平均曲率流的光滑解长时间存在并收敛到一 个流形． 本文作者已经研究了凸初始曲面的带外力场的逆平均曲率流，证明了对任意 C，流 保持凸性．当c较小时，流光滑解长时间存在且在扩张过程中曲面越变越圆，而当c较 大时，曲面在有限时间内收缩为一点．关于这一结果可以参阅 6『]． 带外力项的曲率流已经被广泛研究．例如，描述 Ginzburg．Landau漩涡运动的模型 的带外力场的平均曲率流，关于相关结果可以查阅 f7—111．除此之外，还有其它关于几 何量速度的发展方程，如 f12一l3】所研究等． 本文主要研究初始超 曲面是星形曲面时，流 (1．1)的性质．具体地，我们将要对 c 0 的外力场给出流 (1．1)的梯度估计，梯度估计是研究流 (1．1)光滑解长时间存在性的重要 步骤，我们将采用Urbas在 3『1中的所使用的方法．在第2节，我们主要做些准备工作， 给出星形曲面上几何量的相关计算以及流 (1．1)的等价同解方程，并由此给出流 (1．1)的 短时间存在性结果．在第 3节，我们给出主要定理及相应证明． 2 准备工作 我们假定M 是关于原点的星形曲面，关于星形超曲面上几何量的具体计算可以参 见 [21，我们这里只给出结果． 由于 M 关于原点是星形的，位置向