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对一道全国高中数学联赛题的思考
44 中学数学 2003 年第 3 期
课外 对一道全国高中数学联赛题的思考
园地
441700 湖北省谷城县第三高级中学 贺 斌
2000 年全国高中数学联合竞赛第 14 题是: 2
条件是 0 k ≤ 9k .
1 2 13 (其中 k = (b - k ) 2 - 4ac 为方程f (x )
若函数f (x ) = - x + 在闭区间
2 2
= kx 的判别式)
[a , b ] 上的最小值为 2a , 最大值为 2b, 求
证明 设抛物线y = f (x ) 的顶点坐标
[a , b ].
为 T (x 0 , y 0 ) ( 以下叙述均采用定理中的记号
由于对于给定的二次函数f (x ) 和给定
) ( )
及此约定 . 我们依据y = f x 图像的对称轴
的正常数 k , 并不一定存在闭区间[a , b ], 使
x = x 0 与闭区间[m , n ] 的相对位置关系进行
f (x ) 在[a , b ] 上的最小值为k a , 最大值为k b,
讨论.
由此使笔者想到: 命题者是如何找到f (x )
先讨论 a 0 时的情况.
的? 其相应闭区间的存在性是否有一般性的
( ) ≤m n ( )
1 若x 0 如图 1 , 则
判别法则? 当闭区间存在时, 其个数问题能否
存在此类闭区间的充要条件是直线y =
确定?事先可否对闭区间提出一些特殊要求?
kx 与抛物线y = f (x ) 交于两个不同点, 且
经探索, 笔者获得了如下结论:
T (x 0 , y 0 ) 位于直线y = kx 上或上方.
( )
定理 存在闭区间[m , n ] m n , 使二
次函数f (x ) = ax 2 + bx + c 在[m , n ] 上的最 故 k 0, k 0, 2
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