西南交通大学概率教案13(考研必备).ppt

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2017-05-28 发布于四川
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§4.3 协方差及相关系数 * * 一、协方差二、相关系数定义3.1 设(X,Y)为二维随机变量，称 Cov(X,Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]} 为X与Y的协方差。一、协方差 1、协方差定义协方差是反映X与Y相互关系的特征量。由方差定义与协方差定义可知： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y) 证：D(X+Y)=E{[X+Y–E(X+Y)]2} =E{[(X–E(X))+(Y–E(Y))]2} =E{[X–E(X)]2}+E{[Y–E(Y)]2} +2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)= E{[X–E(X)][Y–E(Y)]} =E[XY–XE(Y)–YE(X)+E(X)E(Y)] =E(XY)–E(X)E(Y) 例3.1 已知(X,Y)的联合密度函数为试求Cov(X,Y)。例3.2 已知(X,Y)的概率密度函数为试求Cov(X,Y)。例3.3 已知(X,Y)的联合分布律为试求Cov(X,Y)。 1 5/12 7/12 P{Y=k} 1/2 1/6 1/3 1 1/2 1/4 1/4 0 P{X=k} 1 0 X Y 2、协方差的性质例3.4 设随机变量X和Y相互独立, 都服从正态分布N(?,?2), 试求aX+bY与cX+dY的协方差。解: Cov(aX+bY,cX+dY) =Cov(aX,cX)+Cov(aX,dY) +Cov(bY,cX)+Cov(bY, dY) =acCov(X,X) +adCov(X,Y) +bcCov(Y, X) +bdCov(Y,Y) =acD(X) +(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y) =ac?2+0+bd?2=(ac+bd)?2 例3.5 已知(X,Y)的概率密度函数为试求D(2X±3Y)。注：相关系数是反映X和Y相互关系的一个无量纲的特征量。定义3.2 设(X,Y)为二维随机变量, D(X), D(Y), Cov(X,Y)分别为X,Y 的方差与协方差, 则称为随机变量X与Y的相关系数。二、相关系数 1、相关系数定义