角平分线(1)王晓晨.ppt

* 八年级数学备课组 王晓晨 如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗? 桥头 中华路 解放大街 （比例尺为１：５００００） A区域 你能做到吗？ 学习目标： 1.理解掌握角平分线的尺规作法； 2.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决有关问题. 一.尺规作角的平分线 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心，大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． O A B C E F G H P Q ● ● ● 二.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 O A B C D E 已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ● P 求证:PE=PD 角平分线性质的证明 证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO＝∠PEO＝90o（垂直的定义）． ∴△PDO≌△PEO (A.A.S) ∴PD=PE 在△PDO和△PEO中， ∠1＝∠2（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， 定理: 角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等. 符号语言： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ， PE ⊥OB ∴PD=PE. 　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 你能写出这个定理的逆命题吗? 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 这是一个真命题吗? O A B C E F G H P Q ● ● ● O A B D E 已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, PE=PD ● P 求证: OP平分∠AOB 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， ∴∠PDO= ∠PEO=90° 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 PD=PE（已知） ｛ OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ Rt △PEO（HL) ∴∠1=∠2 ∴OP平分∠AOB。 定理:在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 　 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 详细过程见教材29页 课堂小结, 畅谈收获： (一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线． 角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 快速反应1、如图，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE＝PF，若∠AOP＝27°，则∠AOB＝ 。 54° 快速反应2：如图，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D,AC=8cm, 3AD=DC。则点D到BC的距离为 。 E 2cm 快速反应3：如图，在⊿ABC中，CD是 ∠ACB的角平分线，E是BC延长线上的一点，CF平分∠ACE，如果∠ACB=50°，那么∠1=————，∠2=———，∠DCF=———— A B C D E F 1 2 25° 90° 没有条件∠ACB=50°，你还能求得∠DCF吗？ 想一想 25° 4、已知：如图，⊿ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F。G,H分别为AB,AC上任意一点，判断下列结论是否正确： (1) DE=DF ( ) (2)BD=CD ( ) (4)AD上任一点到AB,AC的距离相等 （ ） √ √ × √ B A C D E F G H (3)DG=DH ( ) 5、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. C● D● A B O