角平分线的性质 (2).ppt

* 第十二章 全等三角形 角的平分线的性质 现在有一张用纸做的角，怎样不利用其他工具把它平分？ 对折之后的折痕和这个角有什么关系？ 如果是木板不能对折，该怎么平分？ 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。 你能说明这是为什么吗？ 动脑想一想 证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等） DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD 动脑想一想 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？ B A O 仅用尺规作图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线 在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？ 在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？ 思考和交流 经过测量，PD=PE总成立。 经过讨论，我们猜想： 角分线上的点到角两边的距离相等。 你能用全等三角形证明吗？ 如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。 角的平分线的性质 角分线上的点到角两边的距离相等 E D O A B P C ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 角分线上的点到角两边的距离相等。 到角的两边的距离相等的点是否也在角的平分线上呢？ 动脑想一想 画出几何图形，写出已知和求证，证明这个猜想。 如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。 求证：OP是∠AOB的平分线。 角的平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 E D O A B P ∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。 动脑想一想 如图，△ABC的平分线BM，CN相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F。 ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上 ∴PD=PE，同理PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 动脑想一想 根据PF=PD，且PD⊥AB，PF⊥AC的事实，你现在能得到什么结论？ 点P也在∠A的平分线上，也就是说，点A是三角形三条角平分线的交点。 动脑想一想 角分线的判定和性质 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 判定 性质 学完本节课你应该知道 角的平分线 尺规画角的平分线 性质和判定 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 判定 性质 会证明 动笔练一练 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ） PA=PB PO平分∠APB OA=OB 以上都一定成立 O A B P D 动笔练一练 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ） 线段CD的中点 CD与过点O做CD垂线的交点 CD与∠AOB的平分线交点 CD上任意一点 C O A B C D 动笔练一练 如图，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1和∠2的大小关系是（ ） ∠1=∠2 ∠1∠2 ∠1∠2 无法确定 A