角平分线的性质(第1课时).ppt

问题1： 　　如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等） DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等） ∴ AE平分∠BAD（角平分线定义） 观察折纸思考问题： 1、折痕PE和PD与角的两 边OA、OB有什么关系？ PD和PE相等吗？ 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？ 3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。 解：  作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么? * O A B N M C 解决问题 s (1) 说说这个仪器的构造特点. (2) 这个仪器可以看成是一个什么图形,你能根 据实物画出几何图形吗？ (3) 这个图形是由几个三角形组成的？它们有什么关系？为什么？ 问题： 探究： 观察下面简易的平分角的 仪器，回答下面的问题： 证明 ： B D A C E 已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC. 作法： 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。 O A B N M C 证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 　　　OM=ON 　　　MC=NC 　　　OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. C O B A P D E 角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB 求证:PD=PE 证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知） ∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义） ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD和△OPE 中 　∠DOP=∠BOP （已证） 　∠ODP=∠OEP （已证） 　　　OP=OP　　（已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS) ∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等） 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). E D O A B P C 问题: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 几何语言: (如图)P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E, PD=PE OP是∠AOB的平分线吗?证明你的结论. 证明: ∵PD⊥OA于D,PE⊥OB于E, ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△OPD和Rt△OPE 中, AP=AP（公共边相等） PD=PE（已知） ∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE (HL) ∴∠DOP=∠BOP（全等三角形对应角相等） ∴ OP平分∠AOB（角平分线定义） 结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 几何语言: ∵P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上) A B E D O P D C s 应用与提高 证明： ∵　AD平分∠CAB 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴　CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等） 提高与拓展 2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？ 角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。 *