角平分线的逆定理.ppt

如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗? 桥头 焦寺 旁堤刘 （比例尺为１：５００００） A区域 角平分线的性质定理的逆定理 定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 条件：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D Ｃ 1 2 3 4 回顾： 一.角平分线的性质 定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 交换定理的条件和结论得到的命题为： 合作探究 ′ 思考分析 逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC. O C B A P D E 逆定理: 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. O C B A P D E 二.角平分线性质定理的逆定理 1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 3.性质定理和逆定理的关系 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 总结归纳 基本应用 填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1＝∠2 　　　　　　　　　 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 应用 1 例1.已知:如图,∠C=900,∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD＝2CD. A B C D E 例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定） B C A C′ １:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。 小区C P 实际应用 2：若已知超市P到道路OA 的距离为600米， 求P到道路OB的距离。 驶向胜利的彼岸 三角形内角的角平分线 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你能证明这个命题吗? 观察这三条角平分线,你发现了什么? 做一做 1 回味无穷 一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 小结 拓展 三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理 思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化，已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且OD=2米 求： △MON的面积 独立作业 3 3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点， PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O 证明两角相等的方法： １．同角（或等角）的余角（补角）相等． ２．平行线的性质 ３．对顶角相等． ４．全等三角形的对应角相等 ５．等边对等角