解线性方程组的直接方法.ppt

所以 为了提高数值稳定性, 可考虑列主元三角分解法, 设已完成A=LU的k-1步分解计算, 矩阵分解成 设 令 rk?ri 相当于取 为第k步分解的主元素. 但要注意方程组的常数项也要相应变换. 例如,用列主元三角分解解例3中方程组.则有 设A为对称正定矩阵, 则有唯一分解A=LU, 且ukk0. 则有 A=LDM 又因为 (LDM)T=MTDLT=LDM 所以 M=LT =LDLT 则有 §2.3 平 方 根 法 分解A=GGT称为对称正定矩阵的Cholesky分解. 若记G=(gij), 则有: 对k=1,2,…,n 按列求矩阵 G的元素。实际计算时,可采用紧凑格式 Ax=b?GGTx=b?Gy=b , GTx=y, 称为平方根法 Ax=b?GGTx=b?Gy=b , GTx=y, 解三角方程可得 解 令 例4 解线性方程组 平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法,对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的LU分解的一半. 且Cholesky分解具有数值稳定性. 利用矩阵乘法 规则可计算得 追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法.即方程组 三对角矩阵A的各阶顺序主子式都不为零的一个充分条件是: |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 在此条件下, A=LDM=TM , 称之为矩阵A的Crout分解. 对三对角矩阵A进行Crout分解,有 §2.4 追 赶 法 其中 Ax=b?TMx=b? Ty=b , Mx=y , 解三角方程可得 称之为解三对角方程组的追赶法. 计算量为 0(n). 例5 解线性方程组 解.令 利用矩阵乘法 规则依次计算 得到 当满足条件 |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 时, 追赶法是数值稳定的, 追赶法具有计算程序简单, 存贮 量少,计算量小的优点. §3 向量和矩阵的范数 §3.1 向量的范数 定义2.1 设‖?‖是以向量 x?Rn 为自变量的实值函数, 且满足条件: (1)非负性: 对任何向量x?Rn ,‖x‖?0 ,且‖x‖=0当 且仅当x=0 (2)齐次性: 对任何向量x ?Rn 和实数? , ‖?x‖=|? |‖x‖ (3)三角不等式: 对任何向量x ,y?Rn ‖x+y‖?‖x‖+‖y‖ 则称‖x‖为向量x的范数，‖?‖为空间Rn上的范数。 记x=(x1,x2,…,xn)T, 常用的三种向量范数有: 向量的1-范数:‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn| 向量的2-范数:‖x‖2= 向量的?-范数:‖x‖?= 例6 设向量x=(2,-4,3,1)T, 求向量范数‖x‖p ,p=1,2, ?. 解 由定义‖x‖1=10 , ‖x‖2= ,‖x‖?=4 . 虽然不同范数的值可能不同，但它们间存在等价关系. 定理2.2 (范数的等价性) 对于 Rn 上的任何两种范数 ‖?‖?和‖?‖? ,存在正常数m,M,使得 m ‖x‖?? ‖x‖? ?M ‖x‖? ,? x?Rn 常用的三种向量范数满足如下等价关系 ‖x‖?? ‖x‖1 ? n‖x‖? ,? x?Rn 定义2.2 设向量序列