计算方法课件第七章.ppt

*/47 */47 */47 */47 */47 三阶Runge-Kutta方法 §7.3 龙格 —库塔方法 */47 四阶(经典)Runge-Kutta方法 §7.3 龙格 —库塔方法 */47 §7.4 阿达姆斯方法 本节内容 一. 一般线性多步法 二. 亚当姆斯显式公式 三. 亚当姆斯隐式公式 四. 亚当姆斯预测—校正系统 返回章节目录 */47 §7.4 阿达姆斯方法 一. 一般线性多步法 由于在计算yn+1时, 已经知道yn, yn-1, … , 及?(xn,yn), ?(xn-1,yn-1), … , 利用这些值构造出精度高、计算量小的差分公式就是线性多步法。 即用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似y(xi+1)。 ) ... ( ... 1 1 0 1 1 1 1 0 1 k i k i i i k i k i i i f f f f h y y y y - - + - - - + + + + + + + + + = b b b b a a a 其通式可写为： 当 ??1?0 时，为隐式公式; ??1=0 则为显式公式。 */47 §7.4 阿达姆斯方法 ? 基于数值积分的构造法 将 在 上积分，得到 只要近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xi+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。 */47 §7.4 阿达姆斯方法 二. 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */ 利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿后插多项式 , 有 Newton插值余项 /* 显式计算公式 */ 局部截断误差为： */47 §7.4 阿达姆斯方法 例：k= 1 时有 */47 §7.4 阿达姆斯方法 注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , …, fi?k 各项的系数均可查表得到 。 1 0 1 2 3 k fi fi?1 fi?2 fi?3 … Bk … … … … … … … */47 §7.4 阿达姆斯方法 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式 */47 §7.4 阿达姆斯方法 三. 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */ 利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , …, fi?k+1 构造 k 阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式，并有 ，其中 与 fi+1 , fi , …, fi?k+1 的系数亦可查表得到。 ~ ~ */47 §7.4 阿达姆斯方法 1 0 1 2 3 k fi+1 fi fi?1 fi?2 … Bk … … … … … … … ~ 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式 小于Bk 较同阶显式稳定 */47 §7.4 阿达姆斯方法 当 h 充分小时，可近似认为?i ? ?i ，则： Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值； Step 2: 用Adams 显式计算预测值； Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。 注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式。 4阶Adams隐式公式的截断误差为 4阶Adams显式公式的截断误差为 外推技术 /* extrapolation */ 三. 亚当姆斯预测-校正系统/* Adams predictor-corrector system */ */47 小结 §7.1 引言 §7.2 欧拉方法 §7.3 龙格—库塔方法 §7.4 阿达姆斯方法 */47 作业与实验 作业（上作业本）： 习题七（P279）：1（1）、3 实验 实验名称：实验七、常微分方程初值问题数值解 实验目的：设计改进的欧拉法程序；进一步加深对微分方程数值解的理解。 实验日期：（请各班关注自己的实验时间） 具体要求见另外文档 * * * * * * */47 §7.2 欧拉方法 */47 §7.2 欧拉方法 */47 §7.2 欧拉方法 i xi Euler方法yi 改进Euler法yi 精确解y(xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1