证明举例19.2(6).ppt

* 证明: E A C D B 在CB上截取CE=CA，联结DE ∵CD平分∠ACB (已知) ∴∠ACD=∠BCD (角平分线的定义) 在⊿ACD和⊿ECD中 ﹛ ∠ACD=∠ECD （作图） （已证） CA=CE CD=CD （公共边） ∴⊿ACD≌⊿ECD (S.A.S) ∴AD=DE (全等三角形的对应边相等) ∠A=∠DEC (全等三角形的对应角相等) ∵∠A=2∠B (已知） ∴∠DEC=2∠B (等量代换) ∵∠DEC=∠B+ ∠BDE (三角形的外角性质) ∴∠BDE=∠B (等式性质) (等角对等边) ∴ BE=DE (等式性质) ∴BC=AD+AC 证明: E A C D B 在CA的延长线上截取CE=CB，联结DE ∵CD平分∠ACB (已知) ∴∠ACD=∠BCD (角平分线的定义) 在⊿ECD和⊿BCD中 ﹛ ∠ECD=∠BCD （作图） （已证） CE=CB CD=CD （公共边） ∴⊿ECD≌⊿BCD (S.A.S) ∠B=∠E (全等三角形的对应角相等) ∵∠DAC=2∠B (已知） ∴∠DAC=2∠E (等量代换) ∵∠DAC=∠E+ ∠ADE (三角形的外角性质) ∴∠E=∠ADE (等式性质) (等角对等边) ∴ AE=AD (等量代换) ∴BC=AD+AC 证明: A C D B ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB （已知） (等边对等角) ∵∠B+∠ACB+∠A=1800 （三角形的内角和为1800） (等式性质） ∵CD是AB边上的高 （已知） ∴∠BDC=900 (三角形的高的定义) ∵∠B+∠BCD+∠BDC=1800 （三角形的内角和为1800） (等式性质） (等式性质） 证明: E A C D B 过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC （已知） ∴∠AEB=900 (垂直的定义) (等腰三角形的三线合一) ∵CD是AB边上的高 （已知） ∴∠BDC=900 (三角形的高的定义) ∵∠B+∠BCD+∠BDC=1800 （三角形的内角和为1800） ∠B+∠BAE+∠AEB=1800 (等式性质） (等量代换） 证明: E A C D B 在AB上取一点E，使CE=CB ∵CD是边AB上的高 （已知） ∴∠B=∠BEC (等边对等角) (等腰三角形的三线合一) ∵AB=AC （已知） ∴∠B=∠ACB (等边对等角) ∵∠B+∠BCE+∠BEC=1800 （三角形的内角和为1800） ∠B+∠BAC+∠ACB=1800 (等式性质） (等量代换） 证明: A C D B E F 延长AE,CB交于F ∵AD∥BC (已知) ∴∠D=∠ECF,∠DAE=∠F (两直线平行，内错角相等) 在⊿ADE和⊿FCE中 ﹛ ∠DAE=∠F （已证） （已证） ∠D=∠ECF DE=CE （已证） ∴⊿ADE≌⊿FCE (A.A.S) ∴AE=EF (全等三角形的对应边相等) ∵E点是线段CD的中点 （已知） ∴DE=CE (中点的定义) ∵AE平分∠BAD (已知) ∴∠BAE=∠DAE (角平分线的定义) ∴∠BAE=∠F (等量代换） (等角对等边) ∴ BA=BF ∴BE平分∠BAC （等腰三角形的三线合一） 证明: A C D B E F 在AB上取一点F,使AF=AD, 联结EF ∵AE平分∠BAD (已知) ∴∠BAE=∠DAE (角平分线的定义) 在⊿ADE和⊿AFE中 ﹛ ∠DAE=∠FAE （已作） （已证） AD=AF AE=AE （公共边） ∴⊿ADE≌⊿AFE (S.A.S) ∴DE=EF (全等三角形的对应边相等) ∠D=∠AFE (全等三角形的对应角相等) ∵AD∥BC (已知) ∴∠D+∠C=1800 (两直线平行，同旁内角互补) ∵ ∠BFE+∠AFE=1800 (邻补角的定义) ∴∠BFE=∠C (等式性质) ∵E点是线段CD的中点 （已知） ∴DE=CE (中点的定义) A C D B E F ∴EF=CE (等量代换) 联结CF ∴∠EFC=∠ECF (等边对等角) ∴∠BFC=∠BCF (等式性质) (等角对等边) ∴ BC=BF 在⊿BEF和⊿BEC中 ﹛ ∠BFE=∠BCE （已证） （已证） FE=CE BF=BC （已证） ∴⊿BEF≌⊿BEC (S.A.S) ∴∠EBF=∠EBC (全等三角形的对应角相等) ∴BE平分∠BAC （角平分线的定义） *