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规模化问题的解题策略 湖南省长沙市第一中学 谢婧 【关键字】 规模化 策略 算法 【摘要】 问题规模化是近来信息学竞赛的一个新趋势，它意在通过扩大数据量来增加算法设计和编程实现的难度，这就向信息学竞赛的选手提出了更高层次的要求，本文试图探索一些解决此类问题的普遍性的策略。开始，本文给出了“规模化”一词的定义，并据此将其分为横向扩展和纵向扩展两种类型，分别进行论述。在探讨横向扩展问题的解决时本文是以谋划策略的“降维”思想为主要对象的；而重点讨论的是纵向扩展问题的解决，先提出了两种策略——分解法和精简法，然后结合一个具体例子研究“剪枝”在规模化问题中的应用。问题规模化是信息学竞赛向实际运用靠拢的一个体现，因此具有不可忽视的意义。 【正文】 一 引 论 （一）背景分析 分析近年来国际、国内中学生信息学竞赛试题，可以看出信息学竞赛对于选手的要求已经不再仅仅局限于“算法设计”，它同时在编程实现方面加强了考察力度，由侧重于考察理论知识转向理论考察与实践考察并重。这一命题宗旨的转变，给信息学竞赛注入了新的机能，为命题者开拓了另一个领域。其一体现有：试题由精巧型(这类试题的难度主要体现在精妙算法的构造，属于一点即通的类型)向规模型发展，从而使得问题的实现复杂化。 （二）对“规模化”的理解 规模一词在字典中的含义是：事物所具有的格式、形式或范围。在信息学竞赛中，问题的规模具体是指待处理数据量的大小，通常可以通过一组规模参数(S1,S2,…, Sk)来表示。例如下列问题1的规模就是(100)，而问题2的规模是(100,100)。 问题1：求数列的前100项之和。 问题2：求100*100的矩阵中的各项之和。 问题3：求数列的前1000项之和。 “规模化”即扩展问题的规模，它具体是指增加规模参数的个数或扩大规模参数的数值范围。我们知道，如果撇开计算机的硬件、软件等环境因素，可以认为一个特定算法的“运行工作量”的大小，只依赖于问题的规模，或者说，它是问题规模的函数，程序的执行时间与存储量需求直接受到问题规模的影响。由于种种现行条件的制约，随着规模扩展，问题的实际解法集便会缩小，甚至变为空集，这有时会使问题规模扩展后无法用原来小规模时的理想模型解决。如NOI’99《生日蛋糕》一题，理论上可以用动态规划的方法求解，但因其空间耗费过大，多数人是用有哪些信誉好的足球投注网站来实现的。 从“规模化”一词的定义不难看出，它包括横向扩展和纵向扩展。横向扩展是指增加规模参数的个数，如由问题1扩展至问题2，即我们通常说的多维化；纵向扩展是指扩大规模参数的数值范围，如由问题1扩展至问题3。下文将分别探讨这两类问题的一般性解题策略。 二 横向扩展问题的解题策略 （一）构造策略的思想 横向扩展问题一般具有维数高、难于构想的特点，所以谋划解决这一类问题的策略，通常采用“降维”[1]的思想：分析低维问题，找到解法，推广至高维的情况。 下面我们就来看一个具体例子。 问题一：对于一个n维体P((S1,T1),(S2,T2)，…，(Sn,Tn)), Si、Ti (i=1..n)均为整数，我们定义其阶积=(T1-S1) *(T2-S2)*…*(Tn-Sn)，并称(Ti-Si)是P的一个要素i。 如果存在另一个n维体Q((S1`,T1`),(S2`,T2`)，…，(Sn`,Tn`)),使得Si`≥Si(i=1..n),且Ti`≤Ti(i=1..n), Si`、Ti` (i=1..n)也是整数，则称Q是P的子n维体。 现给定一个n维体((0,A1),(0,A2)，…，(0,An)),求它所有子n维体的阶积和。 〖问题分析〗： 如果泛泛地从n维体入手，会觉得无所适从，根据要求“所有子n维体的阶积和”，我们可以枚举所有的子n维体，其时间复杂度高达O(m2n)（其中m表示Ai(i=1..n)的一般规模），效率不高的主要原因是数学模型不够抽象，而好的数学模型是建立在问题本质基础上的。所以说，如果我们对问题缺乏认识或认识不深，就不可能高效地解决它。这就是笼统的考虑横向扩展问题的弊病。 下面我们根据上文提到的“降维”思想来解决此题。 第一步：降低问题的规模。 我们先从简单模型入手，来看一看n=1时的情况，我们把一维体（（0，A1））体现在在下图所示的一根数轴上，这里不妨把一维体看成一条线段,其阶积就是线段的长度。 0 1 2 3 4 A1-1 A1 第二步：在低维问题中求找规律。 试想把长度相同的子线段归类统计，那么对于长度为L的线段(s,s+L)： ∵s+L≤A1 ∴ s≤A1-L 又∵s≥0， ∴0≤s≤A1-L ，这样的子线段共