图形中的等比数列.docVIP

数列专题复习：图形中的等比数列 一 课前练习：如图，在Rt△ABC中，BC=3,AB=5，BC⊥AC，过点C作CP1⊥AB于P1，过P1作P1P2⊥AC于点P2，……，这样得到垂线段列CP1,P1P2,P2P3,…，记其长度分别为a1,a2,a3,…，得到数列{an}，数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与△ABC的周长p的大小关系是 A．Snp B．Sn=p C．Snp 　 D．与n的取值有关 二 例题讲解 例1在中，，，，作的内切圆，半径为；再作与边和都相切的，半径为；又作与边AB,AC和⊙O2都相切的⊙O3 ，半径为r3 ；如此继续下去，作这样相切的圆⊙On ，半径为rn ， ⊙On的面积为Sn． 求r1和rn ； （2）求证：对n∈N*,S1+S2+…+Sn． 练习：设正三角形A1B1C1边长为a,分别取B1C1,C1A1,A1B1的中点A2,B2,C2,记a1为△A1B1C1除去△A２BC２后剩下的三个三角形的三内切圆面积之和，依此类推，记an是△ AnBnCn除去△ An+1Bn+1Cn+1后剩下的三个三角形内切圆面积之和，从而得到数列{an},设该数列的前n项和为Sn. (1)求a1和an； (2)求Sn，并证明：Sn． 例2．如图的树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段，重复前面的作法至第n层，设题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为{an}． (1)试求a2，a3，a4；(2)求an； (3)若树形的高度大于2，则称树形图“高大”，否则称为“矮小”，试判断该树形是“高大”还是“矮小”练习：已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直交抛物线于点，，如此继续。一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点． （1）求的值； （）求点的坐标．1（2006年浙江理第20题）已知函数，数列的第一项，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过和两点的直线平行（如图）．求证：当时， （1）； （2）． （2014年浙江调研卷理第21题）如图，已知曲线C：，，，．取线段的中点，过作x轴的垂线交曲线C于，过作y 轴的垂线交于，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y 轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn． () 求a2与an； () 求，并证明． 3．和上依次有点列和，其中，且， （1）求点的坐标； （2）求四边形的面积的最大值 C P1 P3 A P4 P2 x O A1 y A3 A2 B1 B2 B3 P1 P2 R P3 Q