轴对称---角平分线性质1.ppt

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） 回味无穷 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线. * * * * 角平分线的性质（1） A D B C E A O B C 活 动 1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 活 动 2 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE P A O B C E D 1 2 P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 尺规作角的平分线 观察领悟作法，探索思考证明方法： A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 活 动 2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ A D B C E 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 活 动 4 A B O C D O A B C E 活 动 3 N O M C E N M 角平分线上的点到角两边的距离相等。 (4)得到角平分线的性质： 活 动 5 利用此性质怎样书写推理过程? ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 活 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A C D E B F 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 试试自己写证明。你一定行！ 一、过程小结： 情境→观察