近世代数之元素的阶.ppt

近世代数 第二章 群论 §2元素的阶 元素的指数 定义1 例1 例2 定理1 注： 定理2 定理3 两个推论： 定理4 例5 |ab|一定等于|a||b|吗？ 例5 |ab|一定等于|a||b|吗？ 思考题： 设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数. 在群 中，由于结合律成立， 有意义，据此, 可定义群的元素的指数:??设 为正整数, 则规定: 显然有， ，其中 为任意整数. 设 为群 的一个元素，使 的最小正整数 叫做元素 的阶，记作 ；若不存在这样的 ，则称 的阶 显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶 为无限. 都大于1， 关于数的普通乘法做成 4次单位根群. 正有理数乘群 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限. 例3 非零有理数乘群 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限. 有限群 中每个元素的阶均有限. ，在 中必有相等的. 设 则 ，从而阶有限. 证明：设 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， ，其中 是 次单位根群 关于普通乘法作成无限交换群， 甚至可能都有限. 例4 ，则 其中每个元素的阶都有限. 若群 中 ，则 证明： 令 ， ，则 . 证明 中 ，只需证 . （2）若 若群中 ，则 ，其中 为任意的整数. 设 ，则 证明： 推论1 在群中，若 ,则 ，其中s，t 均为正整数. 推论2 在群中，若 ，则 在群中，若 ， ，则当 且 时， 证明： ， ， ，于是 若 同理 ， 是有理数域Q上的全体二阶满秩 方阵关于矩阵乘法做成的群. 是有理数域Q上的全体二阶满秩 方阵关于矩阵乘法做成的群. * *