近世代数之等价关系与集合的分类.ppt

§1.1 集合关系与集合的分类 等价关系 集合的分类 集合的等价 关系与分类 * * 一、等价关系 元素的一个条件．如果对 中任意一个有序元素对 的一个关系(relation)．如果 与 满足条件 ，则称 与 有关系 ，记作 ；否则 称 与无关系 ．关 系 也称为二元关系． ，我们总能确定 与 是否满足条件 ，就称 是 定义1.1.1　设 是一个非空集合, 是关于 的 例1　设 是一个非空集合， 的所有子集组成的 集合记为 ．因为对 的任意两个子集 ， ， 或 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“ ” 是 的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还 具有下面两条性质： (1) 反身性，即对 的任一子集 ，有 ； (2) 传递性, 即对 的任意子集 , , , 如果 , ,则有 ． 例2 在整数集 中, 规定 ．因为 这个关系也具有反身性和传递性． 例3 在整数集 中, 规定 ( 即 与 互 素)． 因为 与 有且仅有一个成立, 所 以是 的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满 足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数 ,由 ，可推出 ． 与 有且仅有一个成立, 所以“|”是 的一个关系． 定义1.1.2　设 是 非空集合的一个关系, 如 果 满足 (E1) 反身性, 即对任意的 , 有 ； (E2)对称性, 即若 , 则 ； (E3) 传递性, 即若 ,且 ,则 ． 则 称是 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ,则称 等价于 ,记作 ． 定义1.1.3　如果～是集合 的一个等价关系, 对 , 令 称子集 为 的一个等价类 (equivalence class) ． 的全体等价类的集合称为集合 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 ． 例４　易知, 三角形的全等,相似, 数域 上 阶方 阵的等,相似,相合等都是等价关系, 而例1,例2,例3及 本节开头所述的关系都不是等价关系． 例５　设 是正整数, 在整数集 中, 规定 这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作 (2) 若 , 则 ； (3) 若 , 有 , 则 ． 与 等价当且仅当 与 被 除有相同的余数, 因此称 所以 是 的一个等价关系,显然 (1)对任意整数 , 则 (读作“ 同余于 , 模 ”)．整数的同余关 系及其性质是初等数论的基础 二、集合的分类 定义1.1.4　如果非空集合 表成若干个两两不 相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 的一种 分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class). 如果 的子集族 构成 的一种分类,则记作 例6 设 为数域 上全体 阶方阵的集合,令 表示所有秩为 的 阶方阵构成的子集. (1) ; (2) ． 所以 是 的一种分类． 例7 是整数集 的一 种分类． 于 ,且 , 同一元素在两个子集中重复出现, 例8 对实数集 , 令子集 , .由 所以 不是 的一种分类． 三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系 定理1.1.1　集合 的任何一个等价关系都确定