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近世代数基础 目 录 第一章 几类实际问题 第二章 集合与映射 第三章 二元关系 第四章 整数与同余方程 第五章 群的基本概念 第六章 子群 第七章 循环群与生成群，群的同构 一 几类实际问题 初等代数、高等代数、线性代数通称为经典代数，其主要研究对象是代数方程。近世代数研究代数系，即在一个集合中定义一种或多种运算构成的系统，如整数集合Z和普通加法“+”构成的体系，记成(Z, +)。近世代数也称抽象代数。 近世代数是许多专业研究的基础，同时也是必须的工具，在近代物理、近代化学、计算机技术、数字通讯、系统工程、管理等各学科有着重要的应用价值。 例1 项链问题 用n中颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，可以做成多少中不同的项链？ 按照乘法原理，这样做成的项链应该有nm个。但是考虑到项链的圆对称性，其实有很多经过适当旋转后就变成一样的项链了，需要在计算中把相同的项链数目减掉，因此当n和m比较大时，这样的计算用手工一个一个的计算是很麻烦的。 例如：当n=5, m=2时，可以用手工的方法计算得到这样的项链一共有8种。 例2 苯分子结构的问题 类似地用n种元素可以合成多少种不同物质的问题。 例如：在一个苯环上结合H原子或CH3原子团，可以形成多少种不同的化合物？ 显然假定苯环上相邻C原子之间的键都是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。 C C C C CH3 C C CH3 H H H H 例3 正多面体着色的问题 对于一个有m个面的正多面体用n种颜色着色，可以有多少种不同的着色方法，例如正六面体。 从数学的角度来讲，n种颜色的集合A={a1,a2,…,an} 正六面体面的集合 B={b1,b2,b3,b4,b5,b6} 对于每一种着色都对应着一个映射：f: B → A 反之每一个映射都对应一种着色方法。因此全部的着色方法数为n6，但是由于正多面体的对称性，许多结果经过适当的位置变化都变成一样的了。我们要求的是不同的着色方法数。 当n比较小时可以枚举的方法得到，如n=2时，方法数为10，对于较大的n必须用群论的方法。 例4 图的构造与计数问题 图：设V={v1,v2,…,vn}，称为顶点集合，E是由其中的一些2元子集做成的边集合，称G=(V, E)为图。 例如：V={1,2,…,10}, E={e1,e2,…,e15}, 其中e1={1,2}, e2={2,3},…,e15={7,10}, 如图G={V, E}。 图及其间的关系可以表示电路、水网络、通讯、交通等有形的结构，也可以表示无形的逻辑关系。 例如：画出所有点数为3的图。 首先算出图的总数，23 =8, 其中一些是相同的。 G1 G2 G3 G8 二 集合与映射 集合的表示形式有两种，一种是直接写出所有元素，一种是写出集合中元素的性质。如：A={1,2,3}, B={x|p(x)} 常用的数的集合： Z={0,±1,±2,…}, Z+ ={1,2,3,…} 有理数集合Q，实数集合R，复数集合C。集合A的元素的个数|A|，从元素个数方面，集合分为有限集和无限集。有限集合|A|=∞ ，无限集合|A|∞ 。 1. 子集与幂：元素a属于A记成a∈A, 用a∈A表示不属于。两个集合A、B，若 ∨a∈A，均有a∈B，称A是B的子集，记成A B, 如果同时B A，则A=B，这时如果A≠B，则称A是B的真子集，记成A B，A B表示A不属于B。 2.空集与幂集 没有任何元素的集合成为空集，记成Ф。由A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记成P(A)。如A={0,1,2}, 则P(A)={Ф,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},A} A的幂集也可以记成2A, 当|A|∞时, 2A的元素个数正好为 |2A|= 2|A| 3.子集运算 设U是一个集合，A,B,C都是U的子集，则两个集合的并、交、差和一个子集的余定义为： 并：A∪B={x∈U|x∈A或x∈B} 余：A’=A=U A 交：A∩B={x∈U|x∈A且x∈B} 差：A B=A-B={x∈U|x∈A且x∈B} 对称差：AΔB=(A B)∪(B A) 运算律：幂等、交换、结合、分配、吸收、模、DMG