近世代数课件(全)--近世代数1-0基本概念.pptVIP

数学与计算科学学院 近世代数—绪论 初等代数、线性代数、高等代数都称为 学习近世代数的意义 由于近世代数在数学的其他分支、近代 物理、近代化学、计算机科学、数字通信、 系统工程等许多领域都有重要应用，因而它 是现代科学技术的数学基础之一，是许多科 技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近 世代数也是数学专业的专业基础课之一。 几个有趣的应用实例 1.项链问题 2.分子结构的计数问题 3.正多面体着色问题 4.图的构造与计数问题 5.开关线路的构造与计数问题 6.数字通信的可靠性问题 7.几何作图问题 8.代数方程根式求解问题 1.项链问题 问题的提法： 用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链， 问可做成多少种不同类型的项链？ 数学上的确切描述 设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。 例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链 利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 3.正面体着色问题 对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进 设n种颜色的集合为 A={a1 ，a2 ，…， an} 两种颜色 （红、绿） n=2 4.图的构造与计数问题 图论的一些基本概念： 设V={v1, v2,…,vn}称为顶点集（vertex set）,E是由V的一些2元子集构成的集合，称 为边集（edge set） ，则有序对(V,E)称为一个 图(graph)，记作G=(V,E)。 例如 设V={1,2,…,10}, E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5}, {1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10}, {6,8},{7,9},{8,10},{6,9},{7,10}} 例4 画出所有点数为3的图 5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关， 例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态：通与不通。 我们用n个变量x1， x2，…， xn代表n个开 关，每一个变量xi的取值只能是0或1，代表开关的 两个状态。开关线路的状态也用一个变量f来表示， f的取值也是0或1，代表开关线路的两个状态。f是 x1， x2，…， xn的函数，称f为开关函数，记作 f(x1， x2，…， xn) f的定义域A×A×…×A中的元素个数为 2n，f在每个元素上的取值有两种可能，所以 全部开关函数的数目为22n，这也就是n个开 关的开关线路的数目。 6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一门研究高效编码方法的学科。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。 例5 简单检错码—奇偶性检错码 设用6位二进制码来表示26个英文字母，其中 前5位顺序表示字母，第6位做检错用，当前5位的 数码中1的个数为奇数时，第6位取1，否则第6位 是0。这样编出的码中1的个数始终是偶数个。例 如， A：000011 B：000101 C：000110 D：001001 …… 用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的 码中含有奇数个1时，则可断定该信息是错的，可 要求发送者重发。因而，同样的设备，用这种编码 方法可提高通信的准确度。 例6 简单纠错码—重复码 设用3位二进制重复码表示A，B两个字母 如下： A：000 B：111 则接收的一方对收到的信息码不管其中是否 有错，均可译码如下： 000 001 010 011 100 101 110 111 A A A B A B B B 这就意味着，对其中的错误信息做了纠正。 利用近世代数的方法可得到更高效的检 错码与纠错码。 7. 几何作图问题 古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用 圆规和直尺能做出哪些图形？ 而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上 做记号。为什么会提出这样的问题呢？ 一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是 丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度 的；另一方面，从