近世代数课件--4.2.唯一分解环.ppt

§2.唯一分解环 2.1 定义与例子 2.2 等价条件 2.3 典型分解 2.4 最大公因子与互素 2.1 定义与例子 2.2 等价条件 2.3 典型分解 2.4 最大公因子与互素 作业: P135: 2,3 * 由于上一节的例我们知道，在一个整环里唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的。 定义1 一个整环 叫做一个唯一分解环，假如 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解, 即: （ⅰ）分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可以分解 （ⅱ）唯一性. 若同时还有 那么 并且我们可以把 的次序掉换一下，使得 例1. 举正反例子 例2. 在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个. 证明: (1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所有单位都相伴的(??). 因此, a 的因子, 在相伴的意义下只有一个. (2) 如果a不是单位, a可以分解 a 的因子只有下面的形式: 不相伴因子总数不超过 个 说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴. 一个唯一分解环有下面重要性质。 定理 1 一个唯一分解环有以下性质； （ⅲ）若一个素元 能够整除 ，那么 能够整除 或 。 注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181). 证明 能够整除 (1) 当 之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若 ，那么 。若 是单位，那么 (2) 和 都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话 而由Ⅳ，1定理2， 是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义， 另一方面 这样， 由唯一分解的定义， 一定是某一个 或某一个 的相伴元。 若 是某一个 的相伴元，那么 同样若 是 某一个的相伴元，那么 。 这样， 能够整除 中的一个。 证完 性质（ⅲ）的重要性由以下定理可以看出。 定理 2 假定一个整环 有以下性质： （ⅰ） 的每一个既不是零也不是单位的元 都有一个分解 （ⅲ） 的一个素元 若能整除 ，那么 能整除 或 。 那么, 一定是一个唯一分解环。 证明 我们看 的一个不等于零也不是单位的元 。由性质（ⅰ）， 有一个分解 我们须要证明， 有唯一分解；就是说，假定我们也有 那么 ，并且我们可以把这些 的次序掉换一下，使得 是 的相伴元。我们对素因子的个数r, 应用第二型归纳法。 (1) 时, 如果 若是 ，那么 其中 不是单位，而 作为素元的乘积也不是单位。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，这不可能。 所以 , 定理成立。 (2) 假如, 定理对能写成 个素元的乘积的元都成立, 即都有唯一分解。 在这个假定之下，我们看一个元 的两种分解： 由性质（ⅲ）， 能够整除某一个 ；把 的次序换一换，我们可以假定 ，但 是素元， 不是单位，所以 这样 这里b是 个素元的乘积，所以依照归纳法假定， 而且我们可以把 的次序掉换一下，使得 这样我们得到 证完 注 由定理1，2，我们也可以用条件（ⅰ），（ⅲ）来作唯一分解的定义。 在唯一分解环中, 每一个既不是零也不是单位的 元 都有分解 称为典型分解. 定义2 (公因子) 元 叫做元 的公因子，假如c同时能够整除 。 定义3 (最大公因子) 元 叫做 的最 大公因子,假如: (1) 元 是元 的公因子. (2) 的每一个公因子也是 的因子。 例2. 整环中,两个元的最大公因子不一定存在. 唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。 定理 3 一个唯一分解环 的两个