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近世代数课件--5.2单扩域.ppt

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* §.单扩域 假定 是域 的扩域,而 是 的一个元. 要讨论单扩域 的结构,我们把 的元分成两类. 定义  叫做域 上的一个代数元,假如存在 的不都等于零的元 , ,…, ,使得           … 假如这样的 , ,…, 不存在, 就叫做 上的一个超越元.若 是 上的一个代数元, 就叫做 的一个单代数扩域;若 是 上的一个超越元, 就叫做 的一个单超越扩域. 单扩域的结构通过以下定理可以掌握 定理1 若 是 上的一个超越元,那么        的商域 这里 是 上的一个未定元 的多项式环. 若 是 上的一个代数元,那么         这里 是 的一个唯一的确定的、最高系数为1的不可约多项式,并且. 证明  包含 上的 的多项式环       一切 , 我们知道,           是 上的未定元 的多项式环 到 的同态满射,现在我们分两个情形来看. 情形1. 是 上的超越元. 这时以上映射是同构映射:          由Ⅲ,10,定理4,         的商域 的商域 由Ⅲ,10,定理3,我们可以知道, (1)    的商域 另一方面, 的商域包含 也包含 ,因此,由 的定义 (2)        的商域 由(1)和(2)得            的商域 因而 的商域 情形2. 是 上的代数元.这时           这里 是上述同态满射的核.由Ⅳ,4,定理3和定理1, 是一个主理想环,所以    的一个主理想的两个生成元能够互相整除,因而它们只能差一个单位因子, 而 的单位就是 的非零元.所以令 的最高系数是1, 就是唯一确定的.由 的定得: ;由此得 不是 的非零元.但 是 上的代数元,所以 也不是零多项式.因此, 的次数≥1. 我们说, 是 的一个不可约多项式.不然的话,将有    , 和 的次数< 的次数 或 从而得        但 和 是域 的元,而域没有零因子,所以由上式可以得到            这就是说 , 或 ,即            这是一个矛盾. 或 这样, 是一个不可约多项式,因而 是 的一个最大理想,而 是一个域.这样 是一个域.但 包含 也包含 ,并且 ,所以                    证完 以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域.当 是域 上代数元的时候,我们还可以把 描述得更清楚一点. 定理2 令 是域 上的一个代数元,并且        那么 的每一个元都可以唯一地表成              的形式,这里 是 的次数.要把这样的两个多项式 和 相加,只需把相当的系数相加; 与 的乘积等于

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