近世代数课件--5.4.多项式的分解域.ppt

§4.多项式的分解域 * 我们都知道 所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环 的每一个n次多项式在C里有n个根，换一句话说， 的每一个多项式在 里都能分解为一次因子的乘积。 若是一个域E上的一元多项式环 的每一个多项式在 里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域。 我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数扩域E，而E是代数闭域。 这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论可以在一定意义下离补这一个缺陷。 定义 域F的一个扩域E叫做 的n次多项式 在F上的一个分裂域（或根域），假如 （ⅰ）在 里（有时简称在E里） 可以分解为一次因子的积： （ⅱ）在一个小于E的中间域 里， 不能这样地分解。 按这个定义，E是一个使得 能够分解为一次因子的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该有什么性质。 定理 1 令E是域F上多项式 的一个分裂域： （1） 那么 证明 我们有 并且在 中， 已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域的定义， 根据这个定理，如果有F上的多项式 的分裂域E存在，那么E刚好是把 的根添加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们证明多项式的分裂域的存在。 定理 2 给了域F上一元多项式环 的一个n次多 项式 ，一定存在 在F的分裂域E。 证明 假定在 里， 这里 最高系数为1的不可约多项式。那么存在一个域 而 在F上的极小多项式是 在 里 ，所以 因此在 里 这里 是 里最高系数为1的不可约多项式。这样存在一个域 而 在 上的极小多项式是 在 是 是 的最高系数为1的不可约多项式。这样我们又可以利用 来得到域 ，使得在 里 这样一步一步地我们可以得到域 使得在 里 证完 域F上一个多项式 当然可能有不同的在F上的分裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。 引理 1 令 和 是两个同构的域。那么多项式环 和 也同构。 证明 令 是 与 间的同构映射，我们规定一个 到 的映射 显然是 与 间的一一映射。我们看 的两个元 和 ： 那么 所以 是同构映射。证完。 在上述同构映射 这下， 的一个不可约多项式的象显然是 的一个不可约的多项式。 引理 2 令 与 是同构的域， 是 的一个最高系数为1的不可约多项式， 是与 对应的 的不可约多项式。又假定 与各 是 与 的单扩域，满足条件 和 。那么存在 与 尖的一个同构映射，并且这个同构映射能够保持原来的 与 间的同构映射。 证明 假定 的次数是n，那么 的次数也是n。这样，若 是 与 间的同构映射，那么 是一个 与 间的一一映射，看 的