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a. 比《数学3》中“回归”增加的内容 数学3——统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y=bx+a 用回归直线方程解决应用问题 选修1-2——统计案例 引入线性回归模型 y=bx+a+e 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果 相关关系的测度(相关系数取值及其意义) 离差平方和的分解 (三个平方和的意义) 总偏差平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响,或者说,是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化,也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响,也称为不可解释的平方和或剩余平方和 样本决定系数 (判定系数 r2 ) 回归平方和占总离差平方和的比例 什么是回归分析?(内容) 从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确程度 回归分析与相关分析的区别 相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制 我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 1 354 总计 0.36 128.361 残差变量 0.64 225.639 随机误差 比例 平方和 来源 表1-3 从表3-1中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即R2 0.64,可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据。 残差分析与残差图的定义: 然后,我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始 数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。 0.382 -2.883 6.627 1.137 -4.618 2.419 2.627 -6.373 残差 59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本 编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。 残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域; 对于远离横轴的点,要特别注意。 身高与体重残差图 异常点 错误数据 模型问题 几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。 小结 用身高预报体重时,需要注意下列问题: 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。 ——这些问题也使用于其他问题。 涉及到统计的一些思想: 模型适用的总体; 模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。 一般地,建立回归模型的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。 (2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系
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