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2.1 曲线与方程 例1 :判断下列命题是否正确 解:(1)不正确,应为x=3, (2)不正确,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0). 2. 在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的中线AD的长为3,求点A的轨迹方程. 设A(x,y),又D(0,0),所以 知识要点1 * * 2.1.1 曲线与方程 第一课时 复习回顾: 我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程 为_______________________. x-y=0 为什么? 点的横坐标与纵坐标相等 x=y(或x- y=0) 第一、三象限角平分线 含有关系: x-y=0 x y 0 (1) 上点的坐标都是方程x-y=0的解 (2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上 曲线 条件 方程 坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0 思考? 圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为: 思考? x y .C (1)圆C上的点的坐标都是方程 的解; (2)方程 的解为坐标的点都在圆C上。 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 定义: 1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形. f(x,y)=0 0 x y 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 说明: 2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上” 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外. 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程x=0 例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k. 例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k. 第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明点 M (x0,y0)在曲线C上. 练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。 1 0 x y -1 1 0 x y -1 1 -2 2 1 0 x y -1 1 -2 2 1 不是 不是 是 练习2:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C???????????? B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C????????????????????????????? D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部 D C 练习3:设圆M的方程为 ,直线l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ) A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在
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