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例4 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数? 的分布列,并求出? 的期望E(? )与方差D(? )和标准差 ? (? ). 例5 将一枚硬币抛掷10次,求正面次数与反面次数之差 ? 的概率分布,并求出 ? 的期望E(? ) 与方差D (? ) . 例题讲解 按3:2:1的比例混合,混合糖果中每一粒糖果的质量都相等. 定价为混合糖果的平均价格才合理 问题情景 18元/kg 24元/kg 36元/kg m千克混合糖果的总价格为 18元/kg 24元/kg 36元/kg 情景探究 按3:2:1混合以下糖果 平均价格为 36 24 18 P X 均值(数学期望)定义 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为 X 随机变量均值的线性性质 已知随机变量X,其均值为E(X). 若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.并且随机变量Y的均值为:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. P 6 5 4 3 2 1 X P 13 11 9 7 5 3 Y 例如 随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的均值. 定义随机变量Y=2X+1,求E(Y). pn xn … … pk xk … … p2 x2 p1 x1 P X pn axn+b … … pk axk+b … … p2 ax2+b p1 ax1+b P X 随机变量X的分布列为: 随机变量Y=aX+b的分布列为: 随机变量Y的数学期望是: 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? X=1或X=0 P(X=1)=0.7 X 1 0 P 0.7 0.3 那么他罚球100次的得分X的均值是多少? 温故知新 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=? 若X服从两点分布,则E(X)=p. X 0 1 P 1- p p 深入探究 深入探究 ? 如果X~B(n,p),那么E(X)=? 若X~B(n,p),则E(X)=np. 则E(X) =p 若X~H(N ,M , n) 则E(X)= 若X~B(n,p) 则E(X)=np 若X~B(1,p) 各种不同概率模型下的数学期望 例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量X与Y,且X ,Y的分布列为: 问:甲、乙两名射手谁的射击水平高? X 1 2 3 P 0.3 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 0.4 0.3 所以,甲射手比乙射手的射击水平高. 解: 例题讲解 设在一组数据x1,x2 ,…, xn中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是: 叫做这组数据的方差. 方差说明了这组数据的波动情况. 离散型随机变量的方差定义 对于离散型随机变量X的概率分布如下表: (其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (xi- E(X))2 描述了xi (i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,故 (x1-E(X))2 p1+ (x2-E(X))2 p2+...+ (xn-E(X))2pn 称为离散型随机变量X的方差,记为D(X). 其算术平方根为X的标准差: 记为 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与分散的程度. 离散型随机变量的方差定义 定义深析 随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别? ? 0 1 2 P 0.4 0.2 0.4 ? 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 甲工人: 乙工人: 例1 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件相等,所得次品数分别是? 、? ,分布列如下: 试求随机变量? 、? 的期望和方差. 解: 从上可知, . 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近,均在9环左右,但射手甲所得的环数比较集中,得9环较多,而射手乙所得环数比较分散,得8环和10环的次数要多些. 例题讲解 例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,分布列如下表: 射手甲 射手乙 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平. 0.4 10 0.2 9 0.4 8 概率p 击中环数?2 0.2 10 0.6 9 0.2 8 概率p 击中环数?1 重要结论: 公式推广 例2 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确. 每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分. 学生甲选对任
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