大数定律和强大数定律的推广.docVIP

大数定律和强大数定律的推广 1 引言 大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理． 2 大数定律 2．1 大数定律的叙述 定义2．1．1　设｛X｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(X)．如果 　0， 则称｛X｝满足大数定律． 　　定理2．1．1　（马尔可夫大数定律）设｛X｝是方差有限的随机变量列，如果有 　　　　 则｛X｝满足大数定律． 推论2．1．2（切贝谢夫大数定律）　若序列｛X｝两两不相关且方差有界：D(X)C(n1)，则｛X｝满足大数定律． 推论2．1．3（伯努利大数定律）　设为n重伯努利试验中成功次数，则当n时有 　　　　　　　　　　　p． 定理2．1．4（辛钦大数定律）　对于独立同分布随机变量列｛X｝，大数定律成立的充分必要条件是E()=a有限． 证明　必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛X｝之共同的特征函数为f(t)，则由引理2．8（《概率论》杨振明　科学出版社　P213）知t时有 　　　f(t)＝1+iat+o(t) 从而的特征函数为 　　　　　 运用如下分析事实：对复数列｛c｝而言 c蕴含(1+)， 便可得证 ． 根据连续性定理1．10（《概率论》杨振明　科学出版社　P204）及定理1．6（《概率论》杨振明　科学出版社　P141）便得依概率收敛到a　． 　　事实上该定理证明用到了概率论中弱收敛和特征函数收敛之间的等价关系，而几种收敛性之间的互推关系是一个重要的内容，这将在本文的最后一节加以阐述． 2 大数定律的推广 2．2．1　大数定律定义的推广 首先介绍几个引理． 定义　称r．v．s序列｛X｝和｛Y｝是尾列等价的，若 　　　P(X Y，i．o．)＝0 称r．v．s序列｛X｝和｛Y｝是收敛等价的，若它们的收敛点集只相差一个零测集． 引理1 （等价性引理） 设r．v．’s序列｛X｝和｛Y｝满足，则下列叙述成立． ｛X｝和｛Y｝是尾列等价的； ｛X｝和｛Y｝是收敛等价的； 若b，则｛b｝和｛b｝是收敛等价的，且在公共 收敛点上，它们的极限相同． 证　P(X，i．o．)＝P()=0，故(1)成立，而(2)和(3)的成立是显然的． 定义2．2．1　　设{ X}为一列r．v．序列，如果存在常数列｛A｝和正常数序列｛B｝,其中B，使 　　　　　　　　－A0 则称{ X}服从弱大数定律（简称大数定律）． 定义2．2．1是定义2．1．1的推广，但事实上我们所主要讨论的仍然是独立r．v．列以及B=n这种形式． 2．2．2　｛X｝为任意r．v．列． 定理2．2．1　（格涅坚科定理） 对随机变量序列｛｝，若记S=(X+X+．．．+X)，a=，则｛X｝服从大数定律的充要条件是 　　　　＝0 证　（充分性） 令＝S－a=＝，设其分布函数为F(x)，则 P()=P()= = = 故｛X｝服从弱大数定律． （必要性）　｛X｝服从大数定律，所以 　= = (*) P()= = 令n　　由(*)及的任意性可得　＝0 定理2．2．2　（伯恩斯坦定理） 已知随机变量序列｛X｝的方差有界：DX，并且当时，相关系数r，则｛｝满足大数定律． 证　因当时，r，且D(X) 故　　　当时 所以对于任意， ． 又由的任意性可知 　　　　　　n时 由定理2．1．1可知｛X｝符合大数定律． 2．2．3　{X}为独立r．v．列 定理2．2．3　　设{ X}为一列独立的r．v．序列，则0的充分必要条件是 (i) 0； (ii) 0； (iii) 0； 证　　令Y=XI 充分性　　由Chebushev不等式，独立性条件(ii)，对0，我们有 P()n0 因而有 0 由条件(iii)有 0　　　　　　　　　　　　　　　　(2．1) 由条件(i)，｛X｝和｛Y｝尾列等价，由引理1得 　　　　　0 再由(2．1)式即得． 必要性 设，以表示r．v．X的中位数，f表示X的c．f．，g(t)为的c．f，，则由完全收敛性准则g(t)=．设c1，由命题5．12（）知在每个有限区间［－c，c］上g(t)一致收敛，因此当n　充分大时log0，故由弱对称化不等式及c．f．性质6的第二个不等式有 　　 0 (n) (2．2) 又因为 ＝ 所以，注意到c1，由(2．2)式即得(i)． 由c．f．的性质8的第一个不等式及g(t)1，当n充分大时 　　2=－3 =－3log0 (2．3) 因此(iii)成立．由于，由(