量子力学——薛定谔方程.ppt

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回顾:叠加原理 变化的相位是有意义的(能够在测量中反映出来) 补充说明:波粒二像性的理解 注意的问题 我们学习的课程的量子部分作了一个假设:粒子所处的状态可以由一个波函数描述。 对更复杂的情况,状态不确定(不能由一个波函数描述),需要借助于统计方法(统计部分讲)。 §2.2 薛定谔方程 1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。 德布罗意物质波概念 薛定谔方程的“建立” 寻找de Broglie波满足的方程,并加以推广 量子力学 U(r) 经典力学: 力 F 初始状态(依赖于实验制备)决定任意 T 时刻的状态,即“态的演化过程”是确定的。 多粒子(N个粒子)情况 定义流密度 记 理解(推导积分形式) 对任何体积V,对上式积分 3.薛定谔方程的求解——定态薛定谔方程 时间部分 空间部分(定态薛定谔方程) 定态概念 完整的定态波函数(定态薛定谔方程的解乘以时间因子) 定态薛定谔方程就是能量本征方程 含时薛定谔方程的一般解 思考题 两个不同的定态叠加生成的态是否是定态? 4. 波函数应满足的条件 从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求,一般地说,波函数应该满足以下三个条件: (1)单值性; (2)有限性; (3)连续性。 连续性通常意味着 和 都连续,但在势能有无穷大跳跃的地方, 允许不连续。 §2.3 一维运动问题的一般分析 1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质 Wronskian定理 若 都是方程的解(能量相同),则 ( c 是与 x 无关的常数), 称为Wronskian定理。 Wronskian定理的证明 另外两个定理 共轭定理:若 是定态行薛定谔程的解,则 也是该方程的解(且能量E相同)。 反射定理:对 (原点对称的势),那么若 是该方程的解,则 也是该方程的解(且能量E相同)。 例子 束缚态:原子中的“束缚”电子 人工量子微结构 束缚态几率分布被限制在有限的空间范围内。 非束缚态:如自由电子;从原子中电离出去的电子 3. 一维束缚态的一般性质 先引入一个概念-简并与非简并 如果对一个给定的能量,只有一个线性独立的波函数存在(即只有一个状态),则称该能级是非简并的,否则称它是简并的,其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。 一维束缚态不简并定理 定理:一维束缚态必是非简并态( 可以由Wronskian定理证明)。 对定理的补充说明 (1)此定理仅对一维情况成立;二维、三维束缚态的能量仍然可能简并(如氢原子、二维、三维谐振子等); (2)非束缚态的能量一般是简并的。 推论2(宇称定理):如果 则一维束缚态波函数必有确定的宇称(奇偶性)。 宇称的定义 作业 作业(补充题2.2):证明本节中的推论1和推论2。 提示 下次课内容 2.4 一维无限深势阱、有限深势阱 2.5 线性谐振子 提示: 二阶常微分方程,容易求解 它的解有如下的规律 证明:定态方程的两个解满足 (由定态薛定谔方程可以直接证明,请自己完成) 2. 一维定态的分类 ——束缚态与非束缚态 束缚态: 相反的情况是非束缚态(或称为散射态) E x 条件: 能量 线性独立的定义:对常数c1,c2 En 不简并定理的证明 证明(反证法):假设简并,则方程有两个线性独立的解,但是由 Wronskian定理: 两个函数不是线性独立的(对应同一个状态),因此不简并。与题设矛盾,故定理得证。 *更严格的证明应该考虑波函数有节点(为零的点)的情况,这时需要分段考虑每个节点之间的区域,再利用波函数连续性条件证明以上常数C对每一段是同一个常数(可参考曾谨言量子力学卷1,83页) 两个推论 推论1:一维束缚态波函数的相位必是常数。 即 因此波函数可以取为实函数 p.52, #2.2,注意:在球坐标中, * 与某物理量(例如能量)的几率分布对应的几率振幅。 与空间位置几率分布对应的几率振幅。 常数相位 绝对常数相位没有意义 相对常数相位才是有意义的 依赖于 可观测。 动量几率幅 振幅不直接可测 有干涉、衍射等现象 波动性 没有确定的轨道 有确定的质量、电荷、自旋等 粒子性 不具有经典概念的特征 保留经典概念的特征 推广 这不是严格推导(薛定谔方程不 能

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